Una relación metamatemática que afirma que si una teoría S es consistente entonces otra teoría T es consistente; normalmente se establece exhibiendo un modelo de T construido a partir de un modelo de S o proporcionando una interpretación de T en S.

Principio

La consistencia relativa reduce el problema de probar la consistencia de una teoría al de probar la consistencia de una teoría base (por lo general mejor entendida) al demostrar una traducción preservadora de verdad o una construcción de modelos desde la teoría objetivo hacia la base.

Demostración

Para mostrar que ZF+¬CH es relativamente consistente con ZF se construye, a partir de cualquier modelo de ZF, un nuevo modelo en el que ¬CH sea verdadero (forcing). El argumento produce: si ZF tiene un modelo (es decir, es consistente), entonces ZF+¬CH también tiene un modelo y por tanto es consistente relativo a ZF.

Aplicación incorrecta

Interpretar la consistencia relativa como una prueba de consistencia absoluta. Un resultado de consistencia relativa depende de la consistencia asumida de la teoría base; no elimina la necesidad fundacional de justificar dicha teoría base, y no se puede reclamar certeza absoluta sobre la teoría objetivo únicamente por la consistencia relativa.

Consecuencia

Los resultados de consistencia relativa permiten a los matemáticos transferir la confianza en la ausencia de contradicciones desde una teoría bien estudiada a otra, aclarando fenómenos de independencia y dependencia y estructurando las pruebas de consistencia de forma jerárquica.

Inversión

La afirmación inversa —si T es consistente entonces S es consistente— es por lo general distinta e independiente; la consistencia relativa no es simétrica salvo que exista una interpretación o construcción de modelos reciproca que lo demuestre.

Límite

Se aplica solo en la medida en que se acepten los recursos metateóricos usados para construir la reducción (tipos de modelos, supuestos de teoría de conjuntos, interpretaciones admisibles). No proporciona una prueba dentro de la teoría objeto y depende de lo que se considere una construcción de modelos aceptable en la metateoría.

Tensión semántica

Hay tensión entre consistencia relativa y conservatividad: la conservatividad garantiza que no se añaden nuevas oraciones en el lenguaje base, mientras que la consistencia relativa se ocupa del traslado de la no contradicción. Una teoría puede ser consistente relativa a otra sin ser una extensión conservadora, lo que crea fricciones conceptuales sobre la idea de 'inofensividad'.

Síntesis

La consistencia relativa es el recurso meta que muestra que la ausencia de contradicciones en una teoría base de confianza basta para garantizar la ausencia de contradicciones en una teoría objetivo, típicamente mediante interpretación o construcción de modelos.