Eine metamathmatische Relation, die aussagt, dass wenn eine Theorie S konsistent ist, dann auch eine andere Theorie T konsistent ist; üblicherweise wird dies durch Ausstellung eines Modells von T, das aus einem Modell von S gebaut wird, oder durch Angabe einer Interpretation von T in S nachgewiesen.

Prinzip

Relative Konsistenz reduziert das Problem, die Konsistenz einer Theorie zu beweisen, auf das Beweisen der Konsistenz einer (meist besser verstandenen) Basistheorie, indem eine wahrheitserhaltende Übersetzung oder Modellkonstruktion vom Ziel in die Basistheorie demonstriert wird.

Demonstration

Um zu zeigen, dass ZF+¬CH relativ konsistent zu ZF ist, konstruiert man aus jedem Modell von ZF ein neues Modell, in dem ¬CH gilt (Forcing). Das Argument liefert: Wenn ZF ein Modell hat (d.h. konsistent ist), dann hat auch ZF+¬CH ein Modell und ist somit relativ konsistent zu ZF.

Fehlanwendung

Relative Konsistenz als absoluten Konsistenzbeweis zu deuten. Ein Ergebnis relativer Konsistenz hängt von der angenommenen Konsistenz der Basistheorie ab; es beseitigt nicht das grundsätzliche Bedürfnis, die Basistheorie zu rechtfertigen, und aus relativer Konsistenz allein lässt sich keine absolute Gewissheit über die Zieltheorie ableiten.

Konsequenz

Relative Konsistenz ermöglicht es Mathematikern, Vertrauen in das Fehlen von Widersprüchen von einer gut verstandenen Theorie auf eine andere zu übertragen, wodurch Unabhängigkeits- und Abhängigkeitsphänomene geklärt und Konsistenzbeweise hierarchisch strukturiert werden.

Umkehrung

Die Umkehrung — wenn T konsistent ist, dann ist S konsistent — ist in der Regel eine andere und unabhängige Aussage; relative Konsistenz ist nicht symmetrisch, es sei denn, es gibt eine zweiseitige Interpretation oder Modellkonstruktion, die Gegenseitigkeit zeigt.

Abgrenzung

Gilt nur insofern, als man die metatheoretischen Mittel akzeptiert, die zur Herstellung der Reduktion benutzt werden (Modeltypen, setztheoretische Annahmen, zulässige Interpretationen). Sie liefert keinen Beweis in der Objekttheorie selbst und hängt davon ab, was in der Metatheorie als akzeptable Modellkonstruktion gilt.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen relativer Konsistenz und Konservativität: Konservativität garantiert keine neuen Basissprachen-Sätze, während relative Konsistenz den Transfer des Nichtwiderspruchs betrifft. Eine Theorie kann relativ konsistent über einer anderen sein, ohne eine konservative Erweiterung zu sein, was konzeptionelle Reibung hinsichtlich der Idee der 'Ungefährlichkeit' erzeugt.

Synthese

Relative Konsistenz ist das meta-theoretische Verfahren, mit dem gezeigt wird, dass die Abwesenheit von Widersprüchen in einer vertrauten Basistheorie ausreicht, um die Abwesenheit von Widersprüchen in einer Zieltheorie zu garantieren, typischerweise durch Interpretation oder Modellkonstruktion.