Une relation formelle entre théories selon laquelle une théorie T est interprétable dans une théorie S s'il existe une traduction définissable du langage de T dans S qui envoie les axiomes de T sur des formules prouvables dans S, préservant ainsi la provabilité et les conséquences de T dans S.

Principe

L'interprétabilité exige une traduction (souvent donnée par une formule de domaine et des interprétations des symboles) qui préserve la dérivabilité : lorsque S prouve la traduction d'une phrase, celle-ci est conséquence de T dans la lecture interprétée, permettant le transfert de propriétés méta-théoriques.

Démonstration

On peut interpréter la théorie des nombres naturels dans une théorie des ensembles en fournissant un domaine définissable (par ex. les numéraux de von Neumann finis) et des formules représentant l'addition et la multiplication ; chaque axiome arithmétique devient prouvable dans la théorie des ensembles sous cette traduction.

Mauvaise application

Confondre interprétabilité avec de simples plongements de modèles, une extension conservative, ou supposer que l'interprétabilité est symétrique ; employer des codages informels sans conditions de définissabilité et de traduction de preuves néglige les exigences formelles de l'interprétabilité.

Conséquence

Si T est interprétable dans S, la consistance de T découle de la consistance de S sous des conditions légères, et de nombreuses propriétés syntaxiques ou sémantiques (décidabilité, indécidabilité, résultats relatifs de complétude) peuvent être transférées ou comparées via l'interprétation.

Inversion

L'interprétabilité est typiquement asymétrique : S peut ne pas être interprétable dans T. Inverser la relation conduit à des notions plus fortes (interprétabilité mutuelle ou bi‑interprétabilité) et met en évidence des différences de puissance expressive ou proof-théorique entre théories.

Limite

Se limite aux théories formelles du premier ordre (ou dûment formalisées) avec langages et systèmes de preuve précis ; exclut les codages informels, les équivalences purement catégoriques des catégories de modèles et les traductions sans conditions de définissabilité.

Tension sémantique

Tension entre l'interprétabilité et d'autres notions d'identité théorique telles que l'équivalence définitionnelle ou l'extension conservative : l'interprétabilité peut préserver la provabilité sans préserver l'identité syntaxique ou l'éliminabilité des nouveaux symboles.

Synthèse

L'interprétabilité formalise quand une théorie peut être fidèlement représentée à l'intérieur d'une autre par une traduction définissable qui préserve la provabilité, offrant un outil pour comparer la force relative, la consistance et la capacité expressive des théories formelles.