Eine formale Relation zwischen Theorien, wobei eine Theorie T in einer Theorie S interpretierbar ist, wenn es eine definierbare Übersetzung der Sprache von T in S gibt, die die Axiome von T auf in S beweisbare Formeln abbildet und dadurch Provierbarkeit und Konsequenz von T in S erhält.

Prinzip

Interpretierbarkeit verlangt eine Übersetzung (häufig durch Definitionsformeln für den Träger und Interpretationen von Relation-/Funktionssymbolen gegeben), die Ableitbarkeit bewahrt: wenn S die Übersetzung eines Satzes beweist, entspricht dies einem konsequenzwahren Satz von T in der interpretierten Sicht, wodurch metatheoretische Eigenschaften transferierbar werden.

Demonstration

Man kann die Theorie der natürlichen Zahlen in einer Mengentheorie interpretieren, indem man einen definierbaren Träger angibt (z. B. endliche von‑Neumann‑Numerale) und Formeln für Addition und Multiplikation bereitstellt; unter dieser Übersetzung werden die arithmetischen Axiome in der Mengentheorie beweisbar.

Fehlanwendung

Interpretierbarkeit mit bloßen Modell-Einbettungen oder konservativen Erweiterungen zu verwechseln oder anzunehmen, Interpretierbarkeit sei symmetrisch; informelle Kodierungen ohne Definierbarkeits- und Beweisübersetzungsbedingungen verkennen die formalen Anforderungen.

Konsequenz

Ist T in S interpretierbar, so folgt unter milden Bedingungen die Konsistenz von T aus der Konsistenz von S, und viele syntaktische oder semantische Eigenschaften (Entscheidbarkeit, Undecidierbarkeit, relative Vollständigkeitsresultate) lassen sich über die Interpretation übertragen oder vergleichen.

Umkehrung

Interpretierbarkeit ist typischerweise asymmetrisch: S muss nicht in T interpretierbar sein. Die Umkehr der Relation führt zu stärkeren Begriffen (gegenseitige bzw. bi‑Interpretierbarkeit) und macht Unterschiede in Ausdruckskraft und beweistheoretischer Stärke sichtbar.

Abgrenzung

Gilt für formale erstordentliche (oder entsprechend formalisierte) Theorien mit präziser Sprache und Beweissystem; schließt informelle oder heuristische Kodierungen, rein kategorientheoretische Äquivalenzen von Modellkategorien und Übersetzungen ohne Definierbarkeitsanforderungen aus.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen Interpretierbarkeit und anderen Auffassungen von Theoriengleichheit wie definitionsäquivalenter Äquivalenz oder konservativer Erweiterung: Interpretierbarkeit kann Provierbarkeit erhalten, aber nicht syntaktische Identität oder Eliminierbarkeit neuer Symbole.

Synthese

Interpretierbarkeit formalisiert, wann eine Theorie durch eine definierbare Übersetzung treu in einer anderen darstellbar ist und Provierbarkeit erhält, und bietet so ein robustes Werkzeug zum Vergleich relativer Stärke, Konsistenz und Ausdrucksfähigkeit formaler Theorien.