Una relación formal entre teorías en la que una teoría T es interpretable en otra S si existe una traducción definible del lenguaje de T en S que envía los axiomas de T a fórmulas demostrables en S, preservando así la demostrabilidad y consecuencia de T dentro de S.

Principio

La interpretabilidad requiere una traducción (a menudo dada por fórmulas de dominio e interpretaciones de símbolos de relación/función) que preserve la derivabilidad: cuando S prueba la traducción de una sentencia, esa sentencia es consecuencia de T en la lectura interpretada, lo que permite transferir propiedades meta‑teóricas.

Demostración

Se puede interpretar la teoría de los números naturales dentro de una teoría de conjuntos dando un dominio definible (p. ej., numerales finitos de von Neumann) y fórmulas que representan suma y producto; bajo esa traducción cada axioma aritmético se vuelve demostrable en la teoría de conjuntos.

Aplicación incorrecta

Confundir interpretabilidad con meros empotramientos de modelos, extensión conservativa, o suponer que la interpretabilidad es simétrica; usar codificaciones informales sin condiciones de definibilidad y traducción de pruebas pasa por alto los requisitos formales de la interpretabilidad.

Consecuencia

Si T es interpretable en S, la consistencia de T se sigue de la consistencia de S bajo condiciones suaves, y muchas propiedades sintácticas o semánticas (decidibilidad, indecidibilidad, resultados relativos de completitud) pueden transferirse o compararse mediante la interpretación.

Inversión

La interpretabilidad es típicamente asimétrica: S puede no ser interpretable en T. Invertir la relación conduce a nociones más fuertes (interpretabilidad mutua o bi‑interpretabilidad) y resalta diferencias en fortaleza expresiva o prueba‑teórica entre teorías.

Límite

Se circunscribe a teorías formales de primer orden (o debidamente formalizadas) con lenguajes y sistemas de prueba precisos; excluye codificaciones informales, equivalencias puramente categóricas de categorías de modelos y traducciones sin condiciones de definibilidad.

Tensión semántica

Hay tensión entre interpretabilidad y otras nociones de identidad teórica como equivalencia definicional o extensión conservativa: la interpretabilidad puede preservar demostrabilidad pero no identidad sintáctica ni eliminabilidad de símbolos nuevos.

Síntesis

La interpretabilidad formaliza cuándo una teoría puede representarse fielmente dentro de otra mediante una traducción definible que preserva la demostrabilidad, proporcionando una herramienta para comparar fuerza relativa, consistencia y capacidad expresiva de teorías formales.