Le statut d'une formule formelle par rapport à un système d'axiomes donné lorsqu'on ne peut dériver ni la formule ni sa négation à partir de ce système ; on parle couramment d'indépendance par rapport aux axiomes ou d'indémontrabilité dans la théorie choisie.

Principe

La démontrabilité est relative à l'appareil déductif et aux axiomes : une formule est indémontrable dans une théorie précisément lorsqu'aucune dérivation finie à partir de ces axiomes ne la produit, et l'indépendance se démontre souvent en construisant des modèles où la formule est vraie et d'autres où elle est fausse.

Démonstration

L'hypothèse du continu est indémontrable (indépendante) de la théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel avec l'axiome du choix (ZFC) : on peut construire des modèles de ZFC où l'hypothèse est vraie et d'autres où elle est fausse, montrant qu'aucun des deux côtés n'est dérivable de ZFC seul.

Mauvaise application

Interpréter l'indémontrabilité comme la preuve qu'une formule est fausse ou dépourvue de sens ; l'indémontrabilité ne reflète que la relation à une base axiomatique fixe, pas une vérité absolue ou un contenu sémantique hors de cette base.

Conséquence

L'indémontrabilité incite à étendre le système d'axiomes, à adopter de nouveaux axiomes ou à accepter le pluralisme quant aux extensions à retenir ; elle oriente aussi l'étude métamathématique de la consistance relative et de la construction de modèles.

Inversion

Démontrabilité : la formule (ou sa négation) peut être dérivée des axiomes via les règles d'inférence admises, écartant toute indépendance vis-à-vis de ce système axiomatique.

Limite

L'indémontrabilité se définit par rapport à une théorie, un langage et un système déductif choisis ; elle ne détermine pas en soi la vérité dans des modèles particuliers sans analyse sémantique ou modelthéorique complémentaire.

Tension sémantique

Il existe une tension entre l'indémontrabilité proof-théorique et l'indécidabilité sémantique : une formule peut être indémontrable tout en étant vraie dans certains modèles et fausse dans d'autres, soulevant la question des critères d'adoption de nouveaux axiomes.

Synthèse

L'indémontrabilité décrit l'indépendance d'une formule par rapport à une base axiomatique donnée ; c'est un phénomène relatif et sensible au modèle qui conduit à choisir entre l'extension des théories, le changement de langage ou l'acceptation de cadres mathématiques multiples.