El estatus de una sentencia formal respecto a un sistema axiomático dado cuando ni la sentencia ni su negación pueden derivarse de ese sistema; se describe habitualmente como independencia respecto de los axiomas o indemostrabilidad dentro de la teoría elegida.

Principio

La demostrabilidad es relativa al aparato deductivo y a los axiomas: una sentencia es indemostrable en una teoría exactamente cuando no existe una derivación finita desde esos axiomas que la produzca; la independencia suele probarse construyendo modelos donde la sentencia es verdadera y otros donde es falsa.

Demostración

La Hipótesis del Continuo es indemostrable (independiente) de la teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel con el Axioma de Elección (ZFC): se pueden construir modelos de ZFC donde la hipótesis se cumple y modelos donde no, estableciendo que ninguna de las dos direcciones es derivable de ZFC por sí sola.

Aplicación incorrecta

Interpretar la indemostrabilidad como evidencia de que una sentencia es falsa o carente de sentido; la indemostrabilidad solo refleja la relación con una base axiomática fija, no la verdad absoluta ni el contenido semántico fuera de esa base.

Consecuencia

La indemostrabilidad motiva extender el sistema axiomático, adoptar nuevos axiomas o aceptar el pluralismo sobre qué extensiones elegir; también orienta el estudio metamatemático de la consistencia relativa y la construcción de modelos.

Inversión

Demostrabilidad: la sentencia (o su negación) puede derivarse de los axiomas mediante las reglas de inferencia aceptadas, por lo que no es independiente de dicho sistema axiomático.

Límite

La indemostrabilidad se define respecto de una teoría, un lenguaje y un sistema deductivo elegidos; por sí sola no determina la verdad en modelos particulares salvo que se complemente con análisis semántico o modeloteórico.

Tensión semántica

Existe tensión entre la indemostrabilidad proof-teórica y la indecidibilidad semántica: una sentencia puede ser indemostrable y, al mismo tiempo, verdadera en algunos modelos y falsa en otros, lo que plantea preguntas sobre los criterios para adoptar nuevos axiomas.

Síntesis

La indemostrabilidad describe la independencia de una sentencia respecto de una base axiomática especificada; es un fenómeno relativo y sensible al modelo que impulsa decisiones sobre extender teorías, cambiar lenguajes o aceptar marcos matemáticos múltiples.