Der Status eines formalen Satzes gegenüber einem gegebenen Axiomensystem, wenn weder der Satz noch seine Negation aus diesem System ableitbar sind; üblicherweise als Unabhängigkeit von den Axiomen oder Unbeweisbarkeit innerhalb der gewählten Theorie bezeichnet.

Prinzip

Beweisbarkeit ist relativ zum deduktiven Apparat und den Axiomen: Ein Satz ist in einer Theorie unbeweisbar genau dann, wenn keine endliche Ableitung aus diesen Axiomen ihn ergibt; Unabhängigkeit wird oft durch Konstruktion von Modellen gezeigt, in denen der Satz gilt, und solchen, in denen er nicht gilt.

Demonstration

Die Kontinuumshypothese ist von Zermelo–Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) unbeweisbar (unabhängig): Man kann Modelle von ZFC bauen, in denen die Hypothese gilt, und Modelle, in denen sie nicht gilt, womit keine Seite allein aus ZFC ableitbar ist.

Fehlanwendung

Unbeweisbarkeit als Beleg dafür zu deuten, ein Satz sei falsch oder sinnlos; Unbeweisbarkeit spiegelt lediglich die Relation zu einer festen Axiombasis wider, nicht die absolute Wahrheit oder semantischen Gehalt außerhalb dieser Basis.

Konsequenz

Unbeweisbarkeit motiviert die Erweiterung des Axiomensystems, die Annahme neuer Axiome oder die Akzeptanz von Pluralismus hinsichtlich zu wählender Erweiterungen; sie lenkt zudem die metamathematische Untersuchung relativer Konsistenz und Modellkonstruktion.

Umkehrung

Beweisbarkeit: Der Satz (oder seine Negation) ist mittels der zugelassenen Inferenzregeln aus den Axiomen ableitbar und ist damit nicht unabhängig von dem Axiomensystem.

Abgrenzung

Unbeweisbarkeit wird relativ zu einer gewählten Theorie, Sprache und deduktiven Methode definiert; sie bestimmt nicht von sich aus die Wahrheit in bestimmten Modellen, sofern nicht durch semantische oder modeltheoretische Analyse ergänzt.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen proof-theoretischer Unbeweisbarkeit und semantischer Unentscheidbarkeit: Ein Satz kann unbeweisbar sein, zugleich aber in einigen Modellen wahr und in anderen falsch, was Fragen zur Wahl neuer Axiome aufwirft.

Synthese

Unbeweisbarkeit beschreibt die Unabhängigkeit eines Satzes von einer spezifizierten Axiombasis; es ist ein relatives, modellenabhängiges Phänomen, das Entscheidungen darüber nach sich zieht, Theorien zu erweitern, Sprachen zu ändern oder mehrere mathematische Rahmen zu akzeptieren.