Une extension d'une théorie formelle obtenue en ajoutant de nouveaux axiomes (ou schémas d'axiomes) qui permet de démontrer au moins une nouvelle formule exprimable dans le langage originel de la théorie ; autrement dit, l'extension n'est pas conservatrice par rapport aux phrases du langage initial.

Principe

Si les principes ajoutés entraînent des phrases dans le langage d'origine qui n'étaient pas dérivables auparavant, l'extension est non conservatrice ; la conservativité se juge par rapport à la signature et à la classe de phrases initiales.

Démonstration

À partir de l'arithmétique de Peano, on adjoint un axiome affirmant l'existence d'un nouvel élément vérifiant une propriété exprimable dans le langage de l'arithmétique ; si cet axiome permet de prouver une assertion arithmétique auparavant indémontrable, l'extension est non conservatrice.

Mauvaise application

Affirmer que toute expansion introduisant de nouveaux symboles non logiques est non conservatrice — les extensions définitoires ou conservatrices peuvent ajouter des symboles sans produire de nouvelles théorèmes dans le langage d'origine.

Conséquence

Les extensions non conservatrices modifient les conséquences de la théorie dans le langage originel, affectent ce qui est prouvable et peuvent changer les engagements ontologiques ou risquer l'incohérence si elles sont mal choisies.

Inversion

Une extension conservatrice ajoute des axiomes ou des symboles mais ne donne aucunement de nouvelles phrases dans le langage d'origine ; elle préserve toutes les conséquences initiales.

Limite

La notion s'applique seulement par rapport à une théorie de base et à son langage originel précisés ; elle exclut les expansions purement définitoires et dépend de la distinction entre conservativité syntaxique et sémantique.

Tension sémantique

La tension apparaît entre la conservativité syntaxique (absence de nouvelles dérivations) et la conservativité sémantique (préservation des modèles), et entre la conservativité pour des formules isolées et pour des schémas ou classes de phrases.

Synthèse

Une extension non conservatrice est un élargissement délibéré d'une théorie qui produit de nouvelles conclusions dans le langage original ; elle marque un changement réel du pouvoir déductif de la théorie et se juge relativement à la signature et à la classe de phrases choisies.