Eine Erweiterung einer formalen Theorie durch Hinzufügen neuer Axiome (oder Axiomenschemata), die mindestens einen neuen Satz erzeugt, der in der ursprünglichen Sprache der Theorie ausgedrückt werden kann; mit anderen Worten: die Erweiterung ist gegenüber der Basistheorie für Sätze der alten Sprache nicht konservativ.

Prinzip

Wenn hinzugefügte Prinzipien Sätze in der Ursprungssprache implizieren, die vorher nicht ableitbar waren, ist die Erweiterung nicht konservativ; Konservativität wird relativ zur ursprünglichen Signatur und Satzklasse bewertet.

Demonstration

Man nimmt die Peano-Arithmetik und fügt ein Axiom hinzu, das die Existenz eines neuen Elements mit einer im arithmetischen Sprachgebrauch ausdrückbaren Eigenschaft behauptet; wenn dieses Axiom eine zuvor unbeweisbare arithmetische Aussage beweisbar macht, ist die Erweiterung nicht konservativ.

Fehlanwendung

Die Behauptung, jede Erweiterung, die neue nicht-logische Symbole einführt, sei nicht konservativ — definitorische oder konservative Erweiterungen können Symbole hinzufügen, ohne neue Sätze in der Ursprungssprache hervorzubringen.

Konsequenz

Nichtkonservative Erweiterungen ändern die Folgerungen der Theorie in der ursprünglichen Sprache, beeinflussen, was beweisbar ist, und können ontologische Zusagen verändern oder bei schlechter Wahl die Inkonsistenz gefährden.

Umkehrung

Eine konservative Erweiterung fügt Axiome oder Symbole hinzu, führt jedoch zu keinen neuen Sätzen in der ursprünglichen Sprache; sie erhält alle ursprünglichen Konsequenzen.

Abgrenzung

Der Begriff gilt nur relativ zu einer bestimmten Basistheorie und deren ursprünglicher Sprache; er schließt rein definitorische Erweiterungen aus und hängt von der Unterscheidung zwischen syntaktischer und semantischer Konservativität ab.

Semantische Spannung

Spannungen bestehen zwischen syntaktischer Konservativität (keine neuen Ableitungen) und semantischer Konservativität (Erhaltung der Modelle) sowie zwischen Konservativität für einzelne Formeln und für Schemata oder Satzklassen.

Synthese

Eine nichtkonservative Erweiterung ist eine gezielte Erweiterung einer Theorie, die neue Schlussfolgerungen in der Originalsprache erzeugt; sie signalisiert eine echte Änderung der deduktiven Stärke und ist relativ zur gewählten Signatur und Satzklasse zu beurteilen.