Una extensión de una teoría formal obtenida al añadir nuevos axiomas (o esquemas de axiomas) que permite deducir al menos un nuevo teorema expresable en el lenguaje original de la teoría; dicha extensión no es conservativa respecto de las oraciones del lenguaje inicial.

Principio

Si los principios añadidos implican oraciones en el lenguaje original que antes no eran derivables, la extensión es no conservativa; la conservatividad se valora en relación con la firma y la clase de oraciones originales.

Demostración

Partiendo de la Aritmética de Peano, se adjunta un axioma que afirma la existencia de un nuevo elemento con una propiedad expresable en el lenguaje de la aritmética; si ese axioma permite demostrar una sentencia aritmética que antes no se podía probar, la extensión es no conservativa.

Aplicación incorrecta

Afirmar que cualquier expansión que introduzca nuevos símbolos no lógicos es no conservativa — las extensiones definitorias o conservativas pueden añadir símbolos sin producir nuevos teoremas en el lenguaje original.

Consecuencia

Las extensiones no conservativas cambian las consecuencias de la teoría en el lenguaje original, afectan a lo que es demostrable y pueden alterar compromisos ontológicos o arriesgar la inconsistencia si se escogen mal.

Inversión

Una extensión conservativa añade axiomas o símbolos pero no produce nuevas oraciones en el lenguaje original; preserva todas las consecuencias del lenguaje inicial.

Límite

La noción se aplica únicamente respecto de una teoría base y su lenguaje original especificados; excluye expansiones puramente definitorias y depende de la distinción entre conservatividad sintáctica y semántica.

Tensión semántica

La tensión surge entre la conservatividad sintáctica (ausencia de nuevas derivaciones) y la conservatividad semántica (preservación de modelos), y entre conservatividad para fórmulas aisladas y para esquemas o clases de oraciones.

Síntesis

Una extensión no conservativa es una ampliación deliberada de una teoría que produce nuevas conclusiones en el lenguaje original; indica un cambio real en el poder deductivo de la teoría y debe juzgarse respecto de la firma y la clase de oraciones elegidas.