Un paradoxe de définissabilité concernant les réels : si l'on tente d'énumérer tous les nombres réels définissables en langue naturelle, on peut diagonaliser cette liste pour produire un nouveau réel qui est lui‑même définissable, aboutissant à une contradiction qui révèle l'imprécision de la définissabilité informelle.

Principe

Mélanger des descriptions informelles et métalinguistiques de la définissabilité avec l'hypothèse que ces descriptions forment une liste dénombrable conduit à une construction diagonale effective qui fournit un objet définissable absent de la liste, montrant l'ambiguïté du mot « définissable » en langue naturelle.

Démonstration

On dresse une liste de descriptions en anglais qui prétendent définir des réels et on les énumère ; on construit un réel dont la n-ième décimale diffère de la n-ième décimale du n-ième nombre de la liste. Le réel diagonal est décrit par cette procédure, contredisant l'exhaustivité supposée de la liste.

Mauvaise application

Prendre les descriptions en langue naturelle pour des définitions formelles précises ou supposer que la définissabilité informelle se comporte comme la définissabilité formelle dans un système fixé ; ou utiliser le paradoxe pour prétendre que la définissabilité formelle est incohérente.

Conséquence

Montre la nécessité de formaliser la notion de définissabilité et de distinguer langage‑objet et métalangage ; dans des cadres formels (par ex. définissabilité en arithmétique ou en théorie des ensembles) le paradoxe disparaît une fois le langage et le codage fixés.

Inversion

Si « définissable » est précisé à l'intérieur d'un système formel fixé avec un codage clair, il n'y a pas de paradoxe : la définissabilité devient une propriété formelle soumise aux résultats diagonaux habituels mais non à la contradiction informelle de Richard.

Limite

Concerne les récits informels en langue naturelle sur la définissabilité et les énumérations naïves de définitions. Il n'implique pas de contradiction dans une théorie rigoureusement formalisée où définitions et codages sont explicites.

Tension sémantique

Tension entre l'apparente dénombrabilité des descriptions en langue naturelle et la flou de ce qui compte comme description ; le paradoxe exploite cette tension entre discours informel et codage formel.

Synthèse

Le paradoxe de Richard montre que le discours informel sur « tous les nombres définissables » est instable : une formalisation précise de la définissabilité et du codage dissipe le paradoxe, mais la notion informelle ne peut être traitée comme une liste dénombrable formelle.