Ein Paradoxon der Definierbarkeit über reelle Zahlen: versucht man, alle in einer natürlichen Sprache definierbaren reellen Zahlen aufzuzählen, so kann man die Liste diagonal erweitern und eine neue reelle Zahl konstruieren, die selbst definierbar ist, was eine Widersprüchlichkeit offenbart und die Undeutlichkeit informeller Definierbarkeit zeigt.

Prinzip

Die Vermischung informeller metasprachlicher Beschreibungen von Definierbarkeit mit der Annahme, dass diese Beschreibungen eine abzählbare Liste bilden, führt zu einer effektiven Diagonalkonstruktion, die ein definierbares Objekt liefert, das nicht auf der Liste steht, und damit die Mehrdeutigkeit von ‚definierbar‘ in natürlichen Sprachen aufzeigt.

Demonstration

Man listet englische Beschreibungen auf, die angeblich reelle Zahlen definieren, und nummeriert sie; konstruiert man eine neue reelle Zahl, deren n-te Dezimalstelle sich von der n-ten Dezimalstelle der n-ten Zahl unterscheidet, so ist die neue Zahl durch diese diagonale Prozedur beschrieben und widerspricht der Vollständigkeitsbehauptung der ursprünglichen Liste.

Fehlanwendung

Natürliche Sprachbeschreibungen als formal präzise Definitionen zu behandeln oder zu glauben, informelle Definierbarkeit verhalte sich wie formale Definierbarkeit in einem festen formalen System; oder den Paradoxon zu verwenden, um formale Definierbarkeit als widersprüchlich darzustellen.

Konsequenz

Zeigt die Notwendigkeit, den Begriff der Definierbarkeit zu formalisieren und Objekt- und Metasprache zu unterscheiden; in formalen Kontexten (z. B. Definierbarkeit in Arithmetik oder Mengentheorie) löst sich das Paradoxon, sobald Sprache und Kodierung festgelegt sind.

Umkehrung

Wenn ‚definierbar‘ innerhalb eines festen formalen Systems mit klarer Kodierung präzisiert wird, gibt es kein Paradoxon: Definierbarkeit wird zu einer formalen Eigenschaft, die zwar diagonale Ergebnisse zulässt, aber nicht die informelle Widersprüchlichkeit Richards hervorruft.

Abgrenzung

Betrifft informelle, natürlichsprachliche Auffassungen von Definierbarkeit und naive Aufzählungen von Definitionen. Es impliziert keinen Widerspruch in rigoros formalisierten Theorien, in denen Definitionen und Kodierungen explizit sind.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der scheinbaren Abzählbarkeit natürlicher Sprachbeschreibungen und der Vagheit dessen, was als Beschreibung zählt; das Paradoxon nutzt diese Spannung zwischen informeller Rede und formaler Kodierung aus.

Synthese

Das Richardparadoxon macht deutlich, dass die informelle Rede von ‚allen definierbaren Zahlen‘ instabil ist: durch präzise Formalisierung von Definierbarkeit und Kodierung verschwindet das Paradoxon, doch die informelle Vorstellung kann nicht einfach als formale abzählbare Liste behandelt werden.