Una paradoja de definibilidad sobre números reales: si se intenta enumerar todos los reales definibles en lengua natural, se puede diagonalizar esa lista para producir un nuevo número real que a su vez es definible, generando contradicción y mostrando la imprecisión de la definibilidad informal.

Principio

La mezcla de descripciones informales metalingüísticas de definibilidad con la asunción de que esas descripciones forman una lista numerable conduce a una construcción diagonal efectiva que produce un objeto definible que no está en la lista, mostrando la ambigüedad de 'definible' en lenguaje natural.

Demostración

Enumera descripciones en inglés que supuestamente definen números reales; construye un nuevo real cuya n‑ésima cifra decimal difiere de la n‑ésima cifra decimal del n‑ésimo número. El real diagonal está descrito por este procedimiento, contradiciendo la afirmación de que la lista original era completa.

Aplicación incorrecta

Tratar las descripciones en lengua natural como definiciones formalmente precisas o asumir que la definibilidad informal se comporta como la definibilidad formal en un sistema fijo; o usar la paradoja para afirmar que la definibilidad formal es incoherente.

Consecuencia

Muestra la necesidad de formalizar las nociones de definibilidad y distinguir lenguaje objeto y metalenguaje; en entornos formales (p. ej. definibilidad en aritmética o teoría de conjuntos) la paradoja desaparece una vez fijados lenguaje y codificación.

Inversión

Si 'definible' se precisa en el seno de un sistema formal con una codificación clara, no hay paradoja: la definibilidad se convierte en una propiedad formal sujeta a resultados de diagonalización estándar pero no a la contradicción informal de Richard.

Límite

Se refiere a cuentas informales en lengua natural sobre definibilidad y a enumeraciones ingenuas de definiciones. No implica contradicción dentro de una teoría rigurosamente formalizada donde definiciones y codificaciones son explícitas.

Tensión semántica

Tensión entre la aparente contabilidad de las descripciones en lengua natural y la vaguedad de lo que cuenta como descripción; la paradoja explota esta tensión entre discurso informal y codificación formal.

Síntesis

La paradoja de Richard evidencia que el discurso informal sobre 'todos los números definibles' es inestable: la formalización precisa de la definibilidad y de la codificación disuelve la paradoja, pero la noción informal no puede tratarse como una lista numerable formal.