Un sous‑ensemble S du domaine d'une structure M est définissable (avec paramètres) s'il existe une formule du premier ordre φ(x,a) avec paramètres a dans M telle que S = { b ∈ M : M ⊨ φ(b,a)}. Si aucun paramètre n'est utilisé, on parle d'ensemble définissable sans paramètres (0‑définissable).

Principe

L'idée organisatrice est qu'un ensemble définissable est exactement l'extension d'un prédicat du premier ordre dans le modèle : la définissabilité traduit des formules syntaxiques en sous‑ensembles sémantiques du domaine, fermés par combinaisons booléennes et par projections (l'existence correspond aux images).

Démonstration

Exemple : dans le corps ordonné des réels (R,+,·,<,0,1), l'ensemble des réels positifs {x : x>0} est définissable par la formule sans quantificateur x>0 ; l'ensemble des carrés est définissable par ∃y (y^2 = x).

Mauvaise application

Confondre définissabilité avec propriétés algébriques, topologiques ou calculables sans tenir compte du langage et des paramètres ; supposer qu'un sous‑ensemble est définissable dans M alors que sa description utilise une structure externe ou une quantification d'ordre supérieur non disponible dans la signature.

Conséquence

Les ensembles définissables forment une algèbre booléenne stable par projection par quantificateurs existentiels ; la connaissance des ensembles définissables détermine les types, contrôle la structure interprétable et est centrale pour les résultats de classification (par ex. o‑minimale, stabilité) en théorie des modèles.

Inversion

Un sous‑ensemble non définissable est tel qu'aucune formule du premier ordre (avec paramètres autorisés) ne le désigne exactement ; beaucoup de collections naturellement décrites ne sont pas définissables dans un langage ou un modèle donnés.

Limite

La définissabilité dépend de la signature choisie, du modèle ambiant M et de l'autorisation ou non de paramètres ; c'est une notion du premier ordre et elle n'englobe pas les propriétés nécessitant la logique d'ordre supérieur, des conjonctions infinitaires ou des encodages externes.

Tension sémantique

La tension survient entre ensembles définissables, type‑définissables (intersection d'ensembles définissables, éventuellement infinie) et ensembles invariants : les ensembles définissables sont explicites syntaxiquement, tandis que les type‑définissables requièrent une information infinie et les invariants sont préservés par automorphismes sans être nécessairement définissables.

Synthèse

Un ensemble définissable dans une structure est la réalisation sémantique d'une formule du premier ordre (avec paramètres donnés) : il exprime comment la syntaxe détermine précisément des sous‑ensembles d'un modèle, formant les objets de base pour la classification et la manipulation en théorie des modèles.