Un subconjunto S del dominio de una estructura M es definible (con parámetros) si existe una fórmula de primer orden φ(x,a) con parámetros a de M tal que S = { b ∈ M : M ⊨ φ(b,a)}. Si no se usan parámetros se dice que es definible sin parámetros (0‑definible).

Principio

La idea organizadora es que un conjunto definible es precisamente la extensión semántica de un predicado de primer orden en el modelo: la definibilidad traduce fórmulas sintácticas en subconjuntos semánticos del dominio, cerrados por combinaciones booleanas y proyecciones (el cuantificador existencial corresponde a imágenes).

Demostración

Ejemplo: En el cuerpo ordenado de los reales (R,+,·,<,0,1), los reales positivos {x : x>0} son definibles por la fórmula sin cuantificadores x>0; el conjunto de cuadrados es definible por ∃y (y^2 = x).

Aplicación incorrecta

Confundir definible con algebraico, topológico o computable sin considerar el lenguaje y los parámetros; suponer que un subconjunto es definible en M cuando su descripción usa estructura externa o cuantificación de orden superior no disponible en la firma.

Consecuencia

Los conjuntos definibles forman un álgebra booleana cerrada bajo proyecciones por cuantificadores existenciales; el conocimiento de los conjuntos definibles determina tipos, controla la estructura interpretable y es central en resultados de clasificación (p. ej. o‑minimalidad o estabilidad) en teoría de modelos.

Inversión

Un subconjunto no definible es aquel para el que no existe ninguna fórmula de primer orden (con los parámetros permitidos) que lo describa exactamente; muchas colecciones naturales no son definibles en un lenguaje o modelo dados.

Límite

La definibilidad depende de la firma escogida, del modelo ambiente M y de si se permiten parámetros; es una noción de primer orden y no capta propiedades que requieran lógica de orden superior, conjunciones infinitas o codificaciones externas.

Tensión semántica

La tensión aparece entre definible, tipo‑definible (intersección de conjuntos definibles, posiblemente infinita) y conjuntos invariantes: los definidos son explícitos sintácticamente, los tipo‑definibles requieren información infinita y los invariantes se preservan por automorfismos pero pueden no ser definibles.

Síntesis

Un conjunto definible en una estructura es la realización semántica de una fórmula de primer orden (con parámetros fijados): es la manera precisa en que la sintaxis determina subconjuntos de un modelo y constituye el objeto básico para la clasificación y manipulación en teoría de modelos.