Eine Teilmenge S der Domäne einer Struktur M heißt definierbar (mit Parametern), wenn es eine Formel erster Ordnung φ(x,a) mit Parametern a aus M gibt, so dass S = { b ∈ M : M ⊨ φ(b,a)}. Wird keine Parameterformel verwendet, spricht man von paramaterfrei oder 0‑definierbar.

Prinzip

Die ordnende Idee ist, dass eine definierbare Menge genau die Erweiterung eines erstordnungslogischen Prädikats im Modell ist: Definierbarkeit übersetzt syntaktische Formeln in semantische Teilmengen der Domäne, die unter booleschen Operationen und Projektionen (Existenzquantor → Bild) abgeschlossen sind.

Demonstration

Beispiel: Im geordneten Körper der reellen Zahlen (R,+,·,<,0,1) ist die Menge der positiven Reellen {x : x>0} definierbar durch die quantorenfreie Formel x>0; die Menge der Quadrate ist definierbar durch ∃y (y^2 = x).

Fehlanwendung

Definierbar mit algebraisch, topologisch oder berechenbar verwechseln, ohne Sprache und Parameter zu berücksichtigen; annehmen, eine Teilmenge sei in M definierbar, obwohl ihre Beschreibung externe Struktur oder höherordentliche Quantifikation erfordert.

Konsequenz

Definierbare Mengen bilden eine Boolesche Algebra, die unter Projektionen durch Existenzquantoren stabil ist; das Verständnis der definierbaren Mengen bestimmt Typen, steuert interpretierbare Strukturen und ist zentral für Klassifikationsergebnisse (z. B. o‑Minimalität oder Stabilität) in der Modelltheorie.

Umkehrung

Eine nicht‑definierbare Teilmenge ist eine, für die keine erstordnungslogische Formel (mit erlaubten Parametern) genau diese Menge auswählt; viele natürlich beschriebene Sammlungen sind in einer gegebenen Sprache oder einem Modell nicht definierbar.

Abgrenzung

Definierbarkeit hängt von der gewählten Signatur, dem umgebenden Modell M und davon ab, ob Parameter erlaubt sind; sie ist eine erstordnungslogische Eigenschaft und erfasst keine Aussagen, die höherer Ordnung, infinitären Konjunktionen oder externen Kodierungen bedürfen.

Semantische Spannung

Die Spannung liegt zwischen definierbar, typdefinierbar (Schnitt von definierbaren Mengen, eventuell unendlich) und invariant: definierbare Mengen sind syntaktisch explizit, typdefinierbare benötigen unendliche Informationen, und invariante Mengen bleiben unter Automorphismen erhalten, sind aber nicht notwendigerweise definierbar.

Synthese

Eine definierbare Menge in einer Struktur ist die semantische Realisierung einer erstordnungslogischen Formel (mit gegebenen Parametern): sie ist der präzise Mechanismus, wie Syntax Teilmengen eines Modells bestimmt und bildet die Grundeinheiten für Klassifikation und Manipulation in der Modelltheorie.