Un type partiel (type n-partiel) est un ensemble consistant de formules du premier ordre avec paramètres dans un tuple de variables choisi qui décrit certaines propriétés qu’un tuple potentiel peut satisfaire mais n’est pas tenu de décider pour chaque formule dans ces variables ; il admet au moins une réalisation ou extension et peut être étendu en un type complet.

Principe

Consistance non maximale : un type partiel est toute collection consistante, mais pas nécessairement maximale, de formules ; son rôle est d’enregistrer une information partielle ou des contraintes qui peuvent être étendues en descriptions complètes si nécessaire.

Démonstration

Dans la théorie des ordres linéaires denses sans bornes, l’ensemble de formules { x > a_n pour chaque élément a_n d’une suite strictement croissante } est un 1-type partiel sur les paramètres {a_n} décrivant une coupure supérieure ; il ne décide pas, pour chaque formule, où se situe un candidat et peut être étendu en différents types complets selon la manière dont la coupure est comblée.

Mauvaise application

Supposer qu’un type partiel détermine de façon unique un type complet ou que tout type partiel doit être réalisé dans chaque extension ; confondre types partiels avec descriptions quantificateur-libre ou finies qui peuvent être inconsistantes dans certains contextes.

Conséquence

Les types partiels servent de blocs de construction pour la construction de modèles, la vérification de la consistance d’ensembles de propriétés et l’étude de la définissabilité et du fourchage ; ce sont des objets syntaxiques dont les extensions maximales sont des types complets et dont la réalisabilité informe sur les propriétés de saturation.

Inversion

Un type complet est l’extension maximale et consistante d’un type partiel ; inverser la partialité conduit à une description décisive qui ne laisse aucune formule pertinente indécise.

Limite

S’applique uniquement aux formules du premier ordre dans des variables et paramètres spécifiés ; les types partiels ne disent rien sur les formules non décidées et ne garantissent pas en eux-mêmes la réalisabilité sauf si la consistance est établie et que l’on applique compacité ou saturation.

Tension sémantique

Tension entre flexibilité (plusieurs extensions possibles) et précision (absence de décision de certaines formules) ; les types partiels sont utiles lorsque des possibilités ouvertes sont nécessaires mais problématiques quand on requiert unicité ou isolation.

Synthèse

Un type partiel est une spécification syntaxique consistante et volontairement incomplète des propriétés d’un tuple potentiel : il consigne des contraintes et laisse la place à une extension, reliant ainsi des contraintes locales à des réalisations globales par l’extension en types complets.