Relation selon laquelle un ensemble de phrases garantit sémantiquement la vérité d'une autre phrase dans chaque interprétation : une relation de conséquence entre prémisses et conclusion sur tous les modèles des prémisses.

Principe

Une phrase φ est une conséquence sémantique d'un ensemble Γ (Γ |= φ) lorsque chaque modèle qui rend toutes les phrases de Γ vraies rend également φ vraie ; la conséquence formalise la préservation sémantique des prémisses vers la conclusion.

Démonstration

À partir de {Tous les humains sont mortels, Socrate est humain} on implique sémantiquement que Socrate est mortel, car dans chaque modèle où les deux prémisses tiennent la conclusion doit tenir ; en logique propositionnelle, {p → q, p} implique q.

Mauvaise application

Considérer la conséquence comme une simple dérivabilité syntaxique sans tenir compte de la correction : un système de preuve peut ne pas préserver la conséquence sémantique s'il est non correct, ou il peut échouer à dériver des conséquences s'il est incomplet.

Conséquence

La conséquence mène à des inférences fiables : une fois la conséquence sémantique établie, les conclusions suivent dans tous les modèles des prémisses et peuvent transférer la vérité des hypothèses aux faits déduits.

Inversion

L'absence de conséquence signifie qu'il existe au moins un modèle des prémisses où la conclusion est fausse ; la contraposition ou la réfutation par contre‑modèle sont des inversions diagnostiques typiques.

Limite

La conséquence dépend de la logique, de la signature et de la sémantique choisies ; les logiques non monotones modifient le comportement de la conséquence (l'ajout de prémisses peut annuler des conséquences antérieures), contrairement à la conséquence classique monotone.

Tension sémantique

Conséquence vs implication : l'implication est un connecteur au niveau des formules dans le langage, tandis que la conséquence est une relation méta entre ensembles de formules et formules ; elles interagissent mais restent des notions distinctes.

Synthèse

La conséquence capture la garantie sémantique : chaque fois que les prémisses sont vraies dans un modèle, la conclusion entraînée est aussi vraie ; elle formalise la conséquence logique fiable sur l'ensemble des modèles admissibles.