Relation, in der eine Menge von Sätzen semantisch die Wahrheit eines anderen Satzes in jeder Interpretation garantiert: eine Folgerelation zwischen Prämissen und Konklusion über alle Modelle der Prämissen hinweg.

Prinzip

Ein Satz φ ist semantische Konsequenz einer Menge Γ (Γ |= φ), wenn jedes Modell, das alle Sätze in Γ wahr macht, auch φ wahr macht; Konsequenz formalisiert die semantische Bewahrung von Prämissen zur Konklusion.

Demonstration

Aus {Alle Menschen sind sterblich, Sokrates ist Mensch} folgt semantisch, dass Sokrates sterblich ist, weil in jedem Modell, in dem die beiden Prämissen gelten, die Konklusion gelten muss; in der Aussagenlogik folgt aus {p → q, p} q.

Fehlanwendung

Konsequenz mit bloßer syntaktischer Ableitbarkeit gleichzusetzen, ohne Korrektheit zu prüfen: Ein Beweissystem kann die semantische Konsequenz nicht bewahren, falls es unsound ist, oder es kann Konsequenzen nicht ableiten, wenn es unvollständig ist.

Konsequenz

Konsequenz liefert zuverlässige Schlüsse: Ist semantische Konsequenz gegeben, so folgen die Konklusionen in allen Modellen der Prämissen und können Wahrheit von Annahmen auf abgeleitete Fakten übertragen.

Umkehrung

Das Nichtvorliegen von Konsequenz bedeutet, dass es mindestens ein Modell der Prämissen gibt, in dem die Konklusion falsch ist; Kontraposition oder Widerlegung durch Gegenmodell sind typische diagnostische Umkehrungen.

Abgrenzung

Konsequenz hängt von der gewählten Logik, Signatur und Semantik ab; nichtmonotone Logiken verändern das Konsequenzverhalten (das Hinzufügen von Prämissen kann vorherige Konsequenzen aufheben), anders als die klassische monotone Konsequenz.

Semantische Spannung

Konsequenz vs Implikation: Implikation ist ein Formel‑level‑Konnektor in der Sprache, Konsequenz ist eine Meta‑Relation zwischen Mengen von Formeln und Formeln; sie interagieren, bleiben aber unterschiedliche Konzepte.

Synthese

Konsequenz erfasst die semantische Garantie: Wann immer die Prämissen in einem Modell wahr sind, ist auch die daraus folgende Konklusion wahr; sie formalisiert verlässliche logische Folgerung über zulässige Modelle hinweg.