Relación en la que un conjunto de oraciones garantiza semánticamente la verdad de otra oración en toda interpretación: una relación de consecuencia entre premisas y conclusión a través de todos los modelos de las premisas.

Principio

Una oración φ es consecuencia semántica de un conjunto Γ (Γ |= φ) cuando todo modelo que hace verdaderas todas las oraciones de Γ también hace verdadera a φ; la consecuencia formaliza la preservación semántica desde las premisas hasta la conclusión.

Demostración

De {Todos los humanos son mortales, Sócrates es humano} se deriva semánticamente que Sócrates es mortal, porque en todo modelo donde se cumplen las dos premisas la conclusión debe cumplirse; en lógica proposicional, {p → q, p} implica q.

Aplicación incorrecta

Tratar la consecuencia como mera derivabilidad sintáctica sin atender a la corrección: un sistema de prueba puede no preservar la consecuencia semántica si es no sound, o puede no derivar consecuencias si es incompleto.

Consecuencia

La consecuencia produce inferencias fiables: una vez establecida la consecuencia semántica, las conclusiones se siguen en todos los modelos de las premisas y permiten transferir verdad de supuestos a hechos derivados.

Inversión

La ausencia de consecuencia significa que existe al menos un modelo de las premisas donde la conclusión es falsa; la contraposición o la refutación por contraejemplo son inversiones típicas empleadas diagnósticamente.

Límite

La consecuencia depende de la lógica elegida, la firma y la semántica; las lógicas no monotónicas cambian el comportamiento de la consecuencia (añadir premisas puede anular consecuencias previas), a diferencia de la consecuencia clásica monótona.

Tensión semántica

Consecuencia vs implicación: la implicación es un conectivo a nivel de fórmula dentro del lenguaje, mientras que la consecuencia es una relación meta entre conjuntos de fórmulas y fórmulas; interactúan pero son nociones distintas.

Síntesis

La consecuencia captura la garantía semántica: siempre que las premisas sean verdaderas en un modelo, la conclusión derivada también lo será; formaliza la consecuencia lógica fiable a través de modelos admisibles.