Un ensemble de formules dans un langage formel considéré comme un corps d'énoncés, souvent présenté comme un jeu d'axiomes accompagné de toutes les formules qui en sont déductibles ; une théorie peut être finie ou infinie, axiomatisable ou définie par sa classe de modèles.

Principe

Une théorie organise le savoir en fixant des hypothèses primitives (axiomes) et en les closant sous l'appareil déductif de la logique choisie ; l'entailment relie les théories à leurs conséquences et aux structures qui les satisfont.

Démonstration

La théorie des groupes comme théorie formelle consiste en axiomes standards des groupes ; de ces axiomes on peut déduire des théorèmes comme l'unicité de l'élément neutre et des propriétés des inverses, de sorte que les axiomes plus leurs conséquences constituent la théorie des groupes.

Mauvaise application

Confondre une description informelle et explicative avec une théorie formelle (par exemple traiter une loi empirique comme un schéma d'axiomes sans formalisation) conduit à des erreurs de catégorie sur ce qui peut être prouvé dans le système.

Conséquence

Une théorie bien spécifiée fournit un ensemble clair de théorèmes, permet d'étudier la consistance, la complétude et la décidabilité, et définit des classes de structures (modèles) réalisant les affirmations de la théorie.

Inversion

Plutôt que de spécifier une théorie par des axiomes, on peut la spécifier par sa classe de modèles (définition sémantique) ; cette inversion met en lumière la dualité entre caractérisations syntaxiques et sémantiques d'un même contenu mathématique.

Limite

Une théorie est relative à un langage formel et à une logique choisis ; elle n'implique pas en soi l'unicité des modèles, ni ne garantit la décidabilité ou la complétude sémantique sans propriétés supplémentaires.

Tension sémantique

Il existe une tension entre la théorie vue comme ensemble de phrases (objet syntaxique) et comme description d'un sujet mathématique donnée par une classe de modèles (objet sémantique) ; les deux vues coïncident seulement sous des conditions de complétude.

Synthèse

Une théorie est l'ensemble formel — axiomes plus clôture déductive — qui définit un domaine via des contraintes sur les modèles et fournit l'appareil inférentiel à partir duquel les théorèmes sont dérivés et analysés.