Eine Sammlung von Formeln in einer formalen Sprache, betrachtet als ein Ganzer von Aussagen, häufig dargestellt als Menge von Axiomen zusammen mit allen aus ihnen ableitbaren Formeln; eine Theorie kann endlich oder unendlich, axiomatisierbar oder durch ihre Modellklasse definiert sein.

Prinzip

Eine Theorie ordnet Wissen, indem sie primitive Annahmen (Axiome) festlegt und diese unter dem deduktiven Apparat der gewählten Logik abschließt; Folgerung verbindet Theorien mit ihren Konsequenzen und mit Strukturen, die sie erfüllen.

Demonstration

Die Gruppentheorie als formale Theorie besteht aus den Standardaxiomen für Gruppen; aus diesen Axiomen lassen sich Sätze wie die Einzigkeit des neutralen Elements und Eigenschaften der Inversen ableiten, sodass die Axiome mit ihren Konsequenzen die Theorie der Gruppen bilden.

Fehlanwendung

Die Verwechslung einer informellen, erklärenden Beschreibung mit einer formalen Theorie (z. B. eine empirische Gesetzmäßigkeit als Axiomenschema ohne Formalisierung zu behandeln) führt zu Kategorienfehlern darüber, was innerhalb des Systems beweisbar ist.

Konsequenz

Eine wohldefinierte Theorie liefert eine klare Menge von Theoremen, ermöglicht die Untersuchung von Konsistenz, Vollständigkeit und Entscheidbarkeit und definiert Klassen von Strukturen (Modelle), die die Behauptungen der Theorie realisieren.

Umkehrung

Statt eine Theorie durch Axiome zu spezifizieren, kann man sie durch ihre Modellklasse definieren (semantische Definition); diese Umkehr beleuchtet die Dualität zwischen syntaktischer und semantischer Charakterisierung desselben mathematischen Inhalts.

Abgrenzung

Eine Theorie ist relativ zu einer gewählten formalen Sprache und Logik; sie impliziert nicht von sich aus die Einzigartigkeit von Modellen und garantiert ohne weitere Eigenschaften weder Entscheidbarkeit noch semantische Vollständigkeit.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen der Theorie als Menge von Formeln (syntaktisches Objekt) und als Beschreibung eines mathematischen Gegenstands durch eine Klasse von Modellen (semantisches Objekt); die beiden Sichtweisen stimmen nur unter Vollständigkeitsbedingungen überein.

Synthese

Eine Theorie ist das formale Paket — Axiome plus deduktiver Abschluss — das ein Gebiet durch Modell‑Einschränkungen definiert und das inferentielle Gerüst bereitstellt, aus dem Theoreme abgeleitet und analysiert werden.