Un conjunto de fórmulas en un lenguaje formal considerado como un cuerpo de enunciados, a menudo presentado como un conjunto de axiomas junto con todas las fórmulas derivables de ellos; una teoría puede ser finita o infinita, axiomatizable o definida por su clase de modelos.

Principio

Una teoría organiza el conocimiento fijando supuestos primitivos (axiomas) y cerrándolos bajo el aparato deductivo de la lógica escogida; la consecuencia relaciona las teorías con sus consecuencias y con las estructuras que las satisfacen.

Demostración

La teoría de grupos como teoría formal consta de los axiomas estándar de grupo; a partir de estos axiomas se pueden deducir teoremas como la unicidad del elemento neutro y propiedades de los inversos, por lo que los axiomas y sus consecuencias constituyen la teoría de grupos.

Aplicación incorrecta

Confundir una descripción informal y explicativa con una teoría formal (por ejemplo, tratar una ley empírica como un esquema de axiomas sin formalización) conduce a errores de categoría sobre lo que puede probarse dentro del sistema.

Consecuencia

Una teoría bien especificada genera un conjunto claro de teoremas, permite investigar la consistencia, la completitud y la decidibilidad, y define clases de estructuras (modelos) que realizan las afirmaciones de la teoría.

Inversión

En lugar de especificar una teoría por axiomas, se puede especificar por su clase de modelos (definición semántica); esta inversión pone de relieve la dualidad entre las caracterizaciones sintácticas y semánticas del mismo contenido matemático.

Límite

Una teoría es relativa al lenguaje formal y la lógica elegidos; no implica por sí misma unicidad de modelos, ni garantiza decidibilidad o completitud semántica sin propiedades adicionales.

Tensión semántica

Existe tensión entre ver la teoría como conjunto de fórmulas (objeto sintáctico) y como descripción de una materia matemática dada por una clase de modelos (objeto semántico); ambas visiones coinciden solo bajo condiciones de completitud.

Síntesis

Una teoría es el paquete formal — axiomas más su clausura deductiva — que define un dominio mediante restricciones sobre modelos y proporciona el aparato inferencial a partir del cual se derivan y analizan teoremas.