Une interprétation (un univers assorti d'attributions pour les symboles non logiques d'un langage) qui rend vraie une formule particulière, un ensemble de formules ou une théorie entière ; on la décrit comme une structure qui satisfait ces énoncés.

Principe

Une structure est un modèle d'une formule ou d'une théorie exactement lorsque chaque formule du jeu donné est vraie selon l'interprétation induite par la structure ; la satisfaction est définie relativement au langage et à la signature.

Démonstration

Les axiomes de la théorie des groupes (opération binaire, élément neutre, inverses, associativité) sont satisfaits par la structure (Z, +) des entiers munis de l'addition, donc (Z, +) est un modèle de la théorie des groupes ; de même les naturels avec zéro et successeur forment un modèle standard des axiomes de Peano.

Mauvaise application

Qualifier une structure de modèle d'une théorie sans vérifier tous les axiomes (par exemple l'associativité ou l'existence d'inverses) est une mauvaise application qui peut prétendre à tort à la consistance ou produire de faux contre‑exemples.

Conséquence

Les modèles fournissent des réalisations concrètes de théories abstraites ; l'existence d'un modèle montre la satisfiabilité et la consistance relative, tandis que l'existence de contre‑modèles montre l'indépendance ou la fausseté de conjectures.

Inversion

La perspective inverse met l'accent sur les théories plutôt que sur les structures : au lieu de demander quelles structures satisfont une théorie, on peut demander quelles formules sont vraies dans toutes les structures d'une classe donnée (validité).

Limite

Le statut de modèle est relatif au langage / à la signature et aux formules considérées ; une structure peut être modèle d'une théorie mais pas d'une autre, et être modèle n'implique ni unicité ni correspondance avec l'intention initiale.

Tension sémantique

Il existe une tension entre les « modèles visés » (structures canoniques motivant une théorie) et les « modèles non standard » (structures inattendues qui satisfont pourtant les axiomes) : les deux sont des modèles légitimes mais jouent des rôles explicatifs différents.

Synthèse

Un modèle est une interprétation qui satisfait un ensemble choisi de formules ; il incarne des axiomes abstraits comme structure concrète, permettant l'évaluation sémantique, la construction de contre‑exemples et l'étude de la satisfiabilité et de l'entailment.