Una interpretación (un dominio junto con asignaciones para los símbolos no lógicos de un lenguaje) que hace verdadera una fórmula, un conjunto de fórmulas o una teoría completa; se describe como una estructura que satisface esos enunciados.

Principio

Una estructura es modelo de una sentencia o teoría exactamente cuando cada sentencia del conjunto dado es verdadera bajo la interpretación inducida por la estructura; la satisfacción se define en relación con el lenguaje y la firma.

Demostración

Los axiomas de grupos (operación binaria, elemento neutro, inversos, asociatividad) son satisfechos por la estructura (Z, +) de los enteros con la suma, así que (Z, +) es un modelo de la teoría de grupos; de forma análoga, los naturales con cero y sucesor forman el modelo estándar de los axiomas de Peano.

Aplicación incorrecta

Llamar a una estructura arbitraria modelo de una teoría sin comprobar todos los axiomas (por ejemplo, sin verificar la asociatividad o la existencia de inversos) es un uso indebido que puede afirmar erróneamente consistencia o producir falsos contraejemplos.

Consecuencia

Los modelos proporcionan realizaciones concretas de teorías abstractas; la existencia de un modelo muestra satisfacibilidad y consistencia relativa, mientras que contraejemplos señalan independencia o falsedad de conjeturas.

Inversión

La perspectiva inversa se centra en teorías en lugar de estructuras: en lugar de preguntar qué estructuras satisfacen una teoría, se pregunta qué sentencias son verdaderas en todas las estructuras de una clase dada (validez).

Límite

Ser modelo es relativo al lenguaje/la firma y a las sentencias consideradas; una estructura puede ser modelo de una teoría pero no de otra, y ser modelo no implica unicidad ni que sea el modelo 'intencionado'.

Tensión semántica

Hay tensión entre 'modelos intencionados' (estructuras canónicas que motivan una teoría) y 'modelos no estándar' (estructuras inesperadas que aun así satisfacen los axiomas): ambos son modelos legítimos pero tienen roles explicativos distintos.

Síntesis

Un modelo es una interpretación que satisface un conjunto escogido de sentencias; encarna axiomas abstractos como estructura concreta, permitiendo evaluación semántica, contraejemplos y el estudio de satisfacibilidad y consecuencia.