Eine Interpretation (ein Universum zusammen mit Zuweisungen für die nichtlogischen Symbole einer Sprache), die eine bestimmte Formel, eine Menge von Formeln oder eine ganze Theorie wahr macht; man spricht von einer Struktur, die diese Aussagen erfüllt.

Prinzip

Eine Struktur ist genau dann Modell einer Formel oder Theorie, wenn jede Formel der betrachteten Menge unter der durch die Struktur gegebenen Interpretation wahr ist; Erfüllung wird relativ zur Sprache und Signatur definiert.

Demonstration

Die Gruppenaxiome (binäre Verknüpfung, neutrales Element, Inverse, Assoziativität) sind erfüllt in der Struktur (Z,+) der ganzen Zahlen mit Addition, daher ist (Z,+) ein Modell der Gruppentheorie; ebenso bilden die natürlichen Zahlen mit 0 und Nachfolger das Standardmodell der Peanoaxiome.

Fehlanwendung

Eine beliebige Struktur ohne Prüfung aller Axiome als Modell einer Theorie zu bezeichnen (z. B. ohne Assoziativität oder Inversen zu verifizieren) ist eine Fehlanwendung, die fälschlich Konsistenz oder Gegenbeispiele behaupten kann.

Konsequenz

Modelle liefern konkrete Realisierungen abstrakter Theorien; die Existenz eines Modells zeigt Erfüllbarkeit und relative Konsistenz, während Gegenmodelle Unabhängigkeit oder Falschheit von Vermutungen demonstrieren.

Umkehrung

Die umgekehrte Perspektive fokussiert Theorien statt Strukturen: anstatt zu fragen, welche Strukturen eine Theorie erfüllen, fragt man, welche Sätze in allen Strukturen einer Klasse wahr sind (Gültigkeit).

Abgrenzung

Modellstatus ist relativ zur Sprache/Signatur und zu den betrachteten Sätzen; eine Struktur kann Modell einer Theorie sein, aber nicht einer anderen, und Modellsein bedeutet weder Einzigartigkeit noch intendierte Entsprechung.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen ‚intendierten Modellen‘ (kanonische Strukturen, die eine Theorie motivieren) und ‚nichtstandard-Modellen‘ (unerwartete Strukturen, die dennoch die Axiome erfüllen): beide sind gültige Modelle, erfüllen aber unterschiedliche erklärende Funktionen.

Synthese

Ein Modell ist eine Interpretation, die eine gewählte Menge von Sätzen erfüllt; es realisiert abstrakte Axiome als konkrete Struktur und ermöglicht semantische Bewertung, Gegenbeispiele sowie die Untersuchung von Erfüllbarkeit und Folgerung.