Une attribution de sens aux symboles non logiques (constantes, symboles de fonction, symboles de prédicat) d'un langage formel, accompagnée d'un univers du discours ; cette attribution détermine quelles formules du langage sont vraies, fausses ou indéterminées relativement à cette attribution.

Principe

Associer à chaque symbole non logique un objet mathématique, une relation ou une fonction sur un univers choisi, de sorte que les formules atomiques reçoivent des valeurs de vérité et que les formules composées soient évaluées de façon compositionnelle.

Démonstration

Dans un langage du premier ordre avec une constante c, un prédicat unaire P et une fonction binaire f, une interprétation peut choisir l'univers N (les naturels), assigner à c la valeur 0, interpréter P comme « est pair » et f comme l'addition ; sous cette attribution la phrase P(f(c,c)) est vraie.

Mauvaise application

Prendre une substitution syntaxique ou une simple convention de dénomination pour une interprétation (par exemple renommer des symboles sans préciser d'univers ni le sens des prédicats) confond la sémantique formelle et la simple réécriture et peut conduire à des conclusions erronées sur la vérité.

Conséquence

À partir d'une interprétation on peut évaluer la satisfaction et la vérité dans cette structure, ce qui permet de séparer les questions sémantiques (ce qui est vrai dans ce monde) de la dérivabilité syntaxique ; les interprétations donnent des modèles lorsqu'elles rendent vraies des formules données.

Inversion

Au lieu d'attribuer des sens aux symboles, on peut fixer un ensemble d'énoncés et se demander quelles structures les satisfont ; la inversion met l'accent sur des classes de structures (modèles) plutôt que sur un unique mappage symbole→objet.

Limite

Une interprétation concerne uniquement l'attribution formelle des symboles aux éléments et relations d'un univers ; elle n'inclut pas de procédures de preuve, les intentions des locuteurs ni des justifications empiriques externes au système formel.

Tension sémantique

La tension apparaît entre une « interprétation intentionnelle » (une sémantique en langage naturel ou lecture informelle) et une « interprétation formelle » (une affectation mathématique arbitraire) : les deux sont appelées interprétations mais diffèrent en portée normative et visée.

Synthèse

Une interprétation associe un univers à un mappage des symboles pour que le langage formel ait des valeurs de vérité déterminées ; elle relie la syntaxe aux structures mathématiques et permet la notion de satisfaction.