Una asignación de significados a los símbolos no lógicos (constantes, símbolos de función, símbolos de predicado) de un lenguaje formal junto con un dominio (universo) del discurso; la asignación determina qué fórmulas del lenguaje son verdaderas, falsas o indeterminadas respecto a esa asignación.

Principio

Asignar a cada símbolo no lógico un objeto matemático, una relación o una función sobre un dominio elegido, de modo que las fórmulas atómicas reciban valores de verdad y las fórmulas complejas se evalúen de forma composicional.

Demostración

En un lenguaje de primer orden con una constante c, un predicado unario P y una función binaria f, una interpretación puede escoger el dominio N (números naturales), dar a c el valor 0, interpretar P como «es par» e interpretar f como la suma; bajo esta asignación la sentencia P(f(c,c)) es verdadera.

Aplicación incorrecta

Tratar una sustitución sintáctica o una simple convención de nombres como una interpretación (por ejemplo, renombrar símbolos sin especificar dominio ni el significado de los predicados) confunde la semántica formal con la mera reescritura y puede llevar a conclusiones inválidas sobre la verdad.

Consecuencia

Dada una interpretación se puede evaluar la satisfacción y la verdad en esa estructura, separando así las preguntas semánticas (qué es verdadero en ese mundo) de la derivabilidad sintáctica; las interpretaciones producen modelos cuando hacen verdaderas fórmulas elegidas.

Inversión

En lugar de asignar significados a los símbolos, se puede fijar un conjunto de sentencias y preguntar qué estructuras las satisfacen; la inversión enfatiza clases de estructuras (modelos) más que una única asignación símbolo→objeto.

Límite

Una interpretación se limita a la asignación formal de símbolos a elementos y relaciones de un dominio; no incluye por sí misma procedimientos de prueba, intenciones de los hablantes ni justificaciones empíricas externas al sistema formal.

Tensión semántica

Existe tensión entre una «interpretación intencionada» (una lectura en lenguaje natural o semántica informal) y una «interpretación formal» (una asignación matemática arbitraria): ambas se llaman interpretaciones pero difieren en fuerza normativa y alcance pretendido.

Síntesis

Una interpretación empareja un dominio con una asignación símbolo→objeto de modo que el lenguaje formal adquiere valores de verdad determinados; es la construcción semántica que enlaza sintaxis y estructuras matemáticas y permite la noción de satisfacción.