Eine Zuweisung von Bedeutungen an die nichtlogischen Symbole (Konstanten, Funktionssymbole, Prädikatsymbole) einer formalen Sprache zusammen mit einer Grundmenge (Universum) des Diskurses; diese Zuweisung bestimmt, welche Formeln relativ zu ihr wahr, falsch oder unbestimmt sind.

Prinzip

Jedem nichtlogischen Symbol wird ein entsprechendes mathematisches Objekt, eine Relation oder eine Funktion auf der gewählten Grundmenge zugeordnet, so dass atomare Formeln Wahrheitswerte erhalten und komplexe Formeln compositionell ausgewertet werden.

Demonstration

In einer prädikatenlogischen Sprache mit Konstante c, einstelligen Prädikat P und binärer Funktion f kann eine Interpretation die Grundmenge N (natürliche Zahlen) wählen, c die Zahl 0 zuweisen, P als ‚gerade Zahl‘ interpretieren und f als Addition; dann ist die Formel P(f(c,c)) wahr.

Fehlanwendung

Eine syntaktische Substitution oder bloße Umbenennung von Symbolen als Interpretation zu behandeln (ohne Grundmenge oder Bedeutungen der Prädikate anzugeben) verwechselt formale Semantik mit Umschreibungen und führt zu unzulässigen Schlüssen über Wahrheit.

Konsequenz

Durch eine Interpretation lässt sich Erfüllung und Wahrheit in der Struktur bestimmen, wodurch semantische Fragen (was in dieser Welt wahr ist) von syntaktischer Ableitbarkeit getrennt werden; Interpretationen erzeugen Modelle, wenn sie bestimmte Formeln wahr machen.

Umkehrung

Statt Bedeutungen zuzuweisen, kann man eine Menge von Sätzen festlegen und fragen, welche Strukturen diese Sätze erfüllen; die Umkehr betont Klassen von Strukturen (Modelle) statt einer einzelnen Zuordnung.

Abgrenzung

Eine Interpretation bezieht sich nur auf die formale Zuordnung von Symbolen zu Elementen und Relationen der Grundmenge; sie umfasst nicht Beweisverfahren, Sprecherintentionen oder empirische Rechtfertigungen außerhalb des formalen Systems.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen einer ‚intendierten Interpretation‘ (natürliche Sprachlesart oder informelle Semantik) und einer ‚formalen Interpretation‘ (beliebige mathematische Zuweisung): Beide werden als Interpretation bezeichnet, unterscheiden sich jedoch in Normativität und Ziel.

Synthese

Eine Interpretation koppelt eine Grundmenge mit einer Symbol‑zu‑Objekt‑Zuordnung, sodass die formale Sprache bestimmte Wahrheitswerte erhält; sie ist die semantische Konstruktion, die Syntax mit mathematischen Strukturen verbindet und Erfüllung ermöglicht.