Une fonction (souvent appelée valuation ou affectation de vérité) qui associe des variables propositionnelles ou des atomes à des valeurs de vérité dans un cadre sémantique donné et qui s'étend aux formules complexes selon les clauses sémantiques de la logique.

Principe

Une affectation précise la base sémantique : elle donne des valeurs de vérité primitives aux atomes et, via des règles compositionnelles (tables de vérité ou clauses), détermine la valeur de vérité de chaque formule bien formée du langage sous une interprétation choisie.

Démonstration

En logique propositionnelle, définir v tel que v(P)=Vrai et v(Q)=Faux ; alors v(P ∨ Q)=Vrai et v(P → Q)=Faux selon l'extension vérité-fonctionnelle habituelle. En premier ordre, une affectation doit être complétée par une interprétation des prédicats et une affectation de variables.

Mauvaise application

Confondre une affectation avec une preuve, la considérer comme une preuve qu'une formule est dérivable d'axiomes, ou négliger la nécessité de préciser l'interprétation sous-jacente (domaine, dénotations des prédicats) en contexte du premier ordre sont des erreurs courantes.

Conséquence

Les affectations sont l'outil de l'analyse modèle-théorique : elles témoignent de la satisfaisabilité, fournissent des contre-modèles à la non-conséquence, et permettent des vérifications algorithmiques de tautologies, de formules satisfaisables et de conséquences logiques.

Inversion

Abandonner la totalité ou la vérité-fonctionnalité conduit à des affectations partielles (lacunes de valeur de vérité) ou à des affectations non standard dans les logiques multi-valuées ou paraconsistantes ; ces renversements changent la façon d'étendre les connecteurs et quelles phrases sont considérées comme satisfaites.

Limite

Cette notion présuppose une logique spécifiée et ses clauses sémantiques ; en logique propositionnelle les affectations mappent les variables sur des valeurs de vérité, tandis qu'en logique du premier ordre les assignations de modèle fixent en outre domaines et interprétations de prédicats — l'affectation seule ne constitue pas tout le modèle dans les langages plus riches.

Tension sémantique

Il existe une tension entre voir une affectation comme une simple attribution syntaxique de valeurs à des symboles et la concevoir comme partie d'un modèle sémantique comprenant domaine, fonctions et relations ; confondre ces rôles obscurcit ce qu'accomplit une affectation seule.

Synthèse

Une affectation de vérité est le dispositif formel qui assigne des valeurs de vérité de base aux atomes et, par les règles compositionnelles de la logique, donne les valeurs de vérité des formules complexes ; elle fonde la construction de modèles, la satisfaisabilité et l'évaluation sémantique à travers les systèmes logiques.