Un connecteur logique unaire qui donne la valeur de vérité opposée de la formule opérande ; noté typiquement ¬A et défini de sorte que ¬A soit vrai exactement quand A est faux (en logique propositionnelle classique).

Principe

Fonctionne comme une vérité-fonction : étant donné la valeur de vérité de A, la valeur de vérité de ¬A est déterminée par une règle fixe (dans la logique classique le complément booléen). Le comportement de la négation varie selon les systèmes logiques (classique, intuitionniste, paraconsistent, modal).

Démonstration

Si p signifie « Il pleut » et v(p)=vrai, alors ¬p représente « Il ne pleut pas » et v(¬p)=faux dans une valuation classique. Double négation : en logique classique ¬¬A est équivalent à A, donc ¬¬p est vrai lorsque p est vrai.

Mauvaise application

Supposer l'élimination de la double négation ou les équivalences de De Morgan dans des systèmes non classiques où elles échouent (par ex. traiter ¬¬A comme équivalent à A en logique intuitionniste), ou lire ¬ comme simple « absence de preuve » plutôt que comme déni explicite.

Conséquence

La négation permet d'exprimer le déni et de construire des contraposées et des contradictions ; ses propriétés formelles soutiennent des techniques de preuve comme la preuve par l'absurde en systèmes classiques (ceci dépend de l'acceptation du tiers exclu et des règles sur la double négation).

Inversion

L'inversion est l'affirmation (supprimer la négation donne la formule positive) ; traiter la négation comme une affirmation ou comme un simple marqueur syntaxique sans conséquence sémantique inverse son rôle et efface la distinction entre vérité et falsité.

Limite

Concerne le connecteur unaire du langage objet ; exclut les opérateurs modaux, épistémiques ou paraconsistents qui s'appellent 'négation' mais ont des clauses sémantiques distinctes, et exclut les négations en métalangage comme « il n'est pas démontrable que... ».

Tension sémantique

Tension entre la négation classique (complément vérité-fonctionnel), la négation constructive/intuitionniste (liée à la démontrabilité d'une contradiction) et la négation paraconsistante (qui tolère certaines contradictions sans explosion).

Synthèse

La négation est le connecteur unaire qui, dans une logique donnée, transforme une formule en son déni selon la sémantique de cette logique ; ses propriétés inférentielles et sémantiques dépendent du caractère classique, constructif ou paraconsistant du système.