Un processus stochastique à accroissements stationnaires et indépendants et trajectoires càdlàg (continues à droite, limites à gauche) ; il généralise le mouvement brownien en autorisant des sauts discontinus et se caractérise par une distribution d'accroissements infiniment divisible et un triplet de Lévy qui précise dérive, composante gaussienne et mesure de saut.

Principe

Les accroissements stationnaires et indépendants signifient que les lois des accroissements dépendent uniquement des différences de temps et que des accroissements disjoints sont indépendants ; le processus se décompose en dérive, composante gaussienne continue et composante à sauts dont les propriétés statistiques sont codées par une mesure de Lévy.

Démonstration

Un processus de Poisson composé avec amplitudes de saut aléatoires est un processus de Lévy : des sauts se produisent aux temps de Poisson et la somme des amplitudes de saut produit des trajectoires discontinues ; l'ajout d'un terme brownien et d'une dérive déterministe donne un processus de Lévy plus riche avec comportement continu et à sauts.

Mauvaise application

Modéliser des phénomènes présentant une forte dépendance temporelle ou mémoire par un processus de Lévy (qui impose des accroissements indépendants), ou approximer le comportement à court terme des sauts par un gaussien lorsque les sauts dominent le risque de queue.

Conséquence

L'emploi d'un processus de Lévy permet de modéliser explicitement queues lourdes, asymétrie et discontinuités soudaines des trajectoires ; il fournit des fonctions caractéristiques maniables et des théorèmes limites pour les sommes d'accroissements indépendants et sert de base à de nombreux modèles à sauts en finance et en physique.

Inversion

Un mouvement brownien pur est l'inversion continue d'un processus de Lévy dont la mesure de sauts est nulle et qui ne possède que la composante gaussienne ; inversement, des processus à sauts purs apparaissent lorsque la partie gaussienne est nulle et seuls subsistent des sauts discrets.

Limite

S'applique aux processus à accroissements indépendants et trajectoires càdlàg ; exclut les processus à accroissements dépendants, le chaos déterministe ou des processus en temps continu dont les trajectoires violent la continuité à droite avec limites à gauche.

Tension sémantique

Il existe une tension entre l'usage de processus de Lévy pour la maniabilité offerte par des accroissements indépendants et la nécessité de capturer des corrélations temporelles, ce qui motive des alternatives comme des processus fractionnaires ou des modèles subordonnés.

Synthèse

Un processus de Lévy est le modèle markovien canonique du mouvement stochastique qui conserve la stationnarité et l'indépendance des accroissements tout en autorisant évolution continue de type diffusion et sauts brusques, paramétré par un triplet séparant dérive, fluctuation gaussienne et intensité/distribution des sauts.