Ein stochastischer Prozess mit stationären, unabhängigen Inkrementen und càdlàg‑Pfade (rechtsstetig mit linksseitigen Grenzen); er verallgemeinert die Brownsche Bewegung durch Zulassen diskontinuierlicher Sprünge und ist durch eine unendlich teilbare Inkrementverteilung sowie ein Lévy‑Tripel (Drift, Gauß‑Teil, Sprungmaß) charakterisiert.

Prinzip

Stationäre unabhängige Inkremente bedeuten, dass die Verteilung von Inkrementen nur von Zeitdifferenzen abhängt und nichtüberlappende Inkremente unabhängig sind; der Prozess zerfällt in Drift, einen kontinuierlichen Gauß‑Anteil und eine Sprungkomponente, deren statistische Eigenschaften durch ein Lévy‑Maß kodiert sind.

Demonstration

Ein zusammengesetzter Poisson‑Prozess mit zufälligen Sprunggrößen ist ein Lévy‑Prozess: Sprünge treten zu Poisson‑Zeitpunkten auf und die Summe der Sprungmagnituden erzeugt diskontinuierliche Pfade; das Hinzufügen eines Brownschen Terms und deterministischer Drift ergibt einen reicheren Lévy‑Prozess mit sowohl kontinuierlichem als auch sprung‑dominiertem Verhalten.

Fehlanwendung

Phänomene mit starker zeitlicher Abhängigkeit oder Gedächtnis als Lévy‑Prozess zu modellieren (Lévy‑Prozesse erzwingen unabhängige Inkremente), oder das Kleinzeitverhalten von Sprüngen durch eine Gaußverteilung zu approximieren, wenn Sprünge das Tail‑Risiko bestimmen.

Konsequenz

Der Einsatz eines Lévy‑Prozesses erlaubt explizite Modellierung schwerer Ränder, Schiefe und plötzlicher Diskontinuitäten in Pfaden; er liefert handhabbare charakteristische Funktionen und Grenzwertsätze für Summen unabhängiger Inkremente und bildet die Grundlage vieler sprunggetriebener Modelle in Finanzmathematik und Physik.

Umkehrung

Reine Brownsche Bewegung ist die kontinuierliche Spezialform eines Lévy‑Prozesses mit verschwindendem Sprungmaß und nur Gauß‑Komponente; reine Sprungprozesse entstehen, wenn der Gauß‑Anteil null ist und nur diskrete Sprünge verbleiben.

Abgrenzung

Gilt für Prozesse mit unabhängigen Inkrementen und càdlàg‑Pfaden; schließt Prozesse mit abhängigem Inkrementverhalten, deterministischen Chaos oder zeitkontinuierliche Prozesse aus, deren Pfade die Rechtsstetigkeit mit linksseitigen Grenzen verletzen.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen dem Einsatz von Lévy‑Prozessen wegen der mathematischen Handhabbarkeit unabhängiger Inkremente und dem Bedarf, zeitliche Korrelationen abzubilden, was Alternativen wie fraktionale Prozesse oder subordinierte Modelle hervorruft.

Synthese

Ein Lévy‑Prozess ist das kanonische markovsche Modell stochastischer Bewegung, das die Stationarität und Unabhängigkeit der Inkremente bewahrt und dennoch sowohl diffusionsartige Kontinuität als auch abrupte Sprünge zulässt, parametrisiert durch ein Tripel, das Drift, gaußsche Schwankung und Sprungintensität/-verteilung trennt.