Un proceso estocástico con incrementos estacionarios e independientes y trayectorias càdlàg (continuas por la derecha con límites por la izquierda); generaliza el movimiento browniano al permitir saltos discontinuos y se caracteriza por una distribución de incrementos infinitamente divisible y por un triplete de Lévy que especifica deriva, componente gaussiana y medida de saltos.

Principio

Incrementos estacionarios e independientes implican que las distribuciones de incrementos dependen solo de diferencias temporales y que incrementos no solapados son independientes; el proceso se descompone en deriva, parte gaussiana continua y componente de saltos cuyas propiedades están codificadas en una medida de Lévy.

Demostración

Un proceso de Poisson compuesto con tamaños de salto aleatorios es un proceso de Lévy: los saltos ocurren en tiempos de Poisson y la suma de las magnitudes de salto produce trayectorias discontinuas; añadir un término browniano y una deriva determinista da un proceso de Lévy más rico con comportamiento continuo y con saltos.

Aplicación incorrecta

Modelar fenómenos con fuerte dependencia temporal o memoria como un proceso de Lévy (que impone incrementos independientes), o aproximar por gaussiano el comportamiento a pequeños tiempos cuando los saltos dominan el riesgo de cola.

Consecuencia

El uso de un proceso de Lévy permite modelar explícitamente colas pesadas, asimetría y discontinuidades súbitas en las trayectorias; proporciona funciones características tratables y teoremas límite para sumas de incrementos independientes y sustenta muchos modelos con saltos en finanzas y física.

Inversión

Un movimiento browniano puro es la reversión continua de un proceso de Lévy con medida de saltos nula y solo componente gaussiana; inversamente, procesos de solo saltos aparecen cuando la parte gaussiana es cero y solo quedan saltos discretos.

Límite

Se aplica a procesos con incrementos independientes y trayectorias càdlàg; excluye procesos con incrementos dependientes, caos determinista o procesos en tiempo continuo cuyas trayectorias violen la continuidad por la derecha con límites por la izquierda.

Tensión semántica

Hay tensión entre modelar con procesos de Lévy por la manejabilidad de los incrementos independientes y la necesidad de captar correlaciones temporales, lo que conduce a alternativas como procesos fraccionarios o modelos subordinados.

Síntesis

Un proceso de Lévy es el modelo canónico markoviano de movimiento estocástico que preserva la estacionariedad e independencia de incrementos a la vez que permite evolución tipo difusión y saltos bruscos, parametrizado por un triplete que separa deriva, fluctuación gaussiana e intensidad/distribución de saltos.