Une technique numérique qui approxime la solution d'équations différentielles ou intégrales en imposant les équations gouvernantes exactement en un ensemble fini sélectionné de points de collocation et en résolvant les coefficients dans une base finie choisie.

Principe

Représenter l'inconnue comme combinaison linéaire finie de fonctions de base et exiger que le résidu s'annule en points de collocation choisis, convertissant un problème continu en un système algébrique fini pour les coefficients.

Démonstration

Approcher une EDO à valeurs frontières en exprimant la solution sur une base polynomiale, choisir des points de collocation Gauss–Lobatto, imposer l'équation différentielle et les conditions aux limites en ces points, puis résoudre le système linéaire obtenu pour les coefficients polynomiaux.

Mauvaise application

Choisir mal les points de collocation (trop de concentration ou ignorance du comportement aux extrémités) ou utiliser une base inadéquate peut engendrer de grandes erreurs d'interpolation, le phénomène de Runge ou un système algébrique mal conditionné.

Conséquence

Lorsqu'elle est mise en œuvre avec une base et une sélection de points appropriées, la collocation offre une convergence d'ordre élevé et des systèmes structurés creux efficaces pour de nombreux problèmes aux limites et intégral.

Inversion

Contraste avec la projection de Galerkin : la collocation impose l'annulation du résidu ponctuellement en des lieux discrets, tandis que Galerkin impose l'orthogonalité du résidu contre un espace de test.

Limite

Efficace pour des solutions lisses et des problèmes adaptés à des représentations globales ou par morceaux ; moins robuste pour les discontinuités fortes, coefficients non lisses ou lorsque l'imposition ponctuelle contredit des formulations faibles.

Tension sémantique

Tension entre l'imposition ponctuelle (collocation) et l'imposition par moyenne pondérée (Galerkin) : la collocation est plus simple et souvent moins coûteuse par degré de liberté mais peut être moins stable ou respecter moins les formulations faibles.

Synthèse

La méthode de collocation réduit des équations opérateurs continues à des systèmes algébriques finis en choisissant des fonctions de base et en imposant les équations gouvernantes en points sélectionnés, échangeant précision ponctuelle contre un système discret solvable.