Una técnica numérica que aproxima la solución de ecuaciones diferenciales o integrales imponiendo las ecuaciones gobernantes exactamente en un conjunto finito seleccionado de puntos de colocación y resolviendo los coeficientes en una base finita elegida.

Principio

Representar la incógnita como combinación lineal finita de funciones base y exigir que el residuo se anule en puntos de colocación seleccionados, convirtiendo un problema continuo en un sistema algebraico finito para los coeficientes.

Demostración

Aproximar una EDO con condiciones de contorno expresando la solución en una base polinómica, elegir puntos de colocación Gauss–Lobatto, imponer la ecuación diferencial y las condiciones en esos puntos y resolver el sistema lineal resultante para los coeficientes polinómicos.

Aplicación incorrecta

Elegir mal los puntos de colocación (concentración excesiva o ignorar el comportamiento en los extremos) o usar una base inadecuada puede producir grandes errores de interpolación, el fenómeno de Runge o un sistema algebraico mal condicionado.

Consecuencia

Cuando se implementa con base y selección de puntos apropiadas, la colocación produce convergencia de alto orden y sistemas estructurados eficientes para muchos problemas con condiciones en la frontera e integrales.

Inversión

Contrasta con la proyección de Galerkin: la colocación impone la anulación puntual del residuo en ubicaciones discretas, mientras que Galerkin impone la ortogonalidad del residuo frente a un espacio de prueba.

Límite

Efectiva para soluciones suaves y problemas que admiten representaciones globales o por tramos; menos robusta frente a fuertes discontinuidades, coeficientes no suaves o cuando la imposición puntual contradice formulaciones débiles.

Tensión semántica

Tensión entre la imposición puntual (colocación) y la imposición por promedios ponderados (Galerkin): la colocación es más simple y computacionalmente más barata por grado de libertad pero puede ser menos estable o menos respetuosa de formulaciones débiles.

Síntesis

El método de colocación reduce ecuaciones de operadores continuos a sistemas algebraicos finitos mediante la elección de funciones base y la imposición de las ecuaciones gobernantes en puntos seleccionados, intercambiando precisión puntual por un sistema discreto resoluble.