Eine numerische Technik, die die Lösung von Differential- oder Integralgleichungen approximiert, indem die Gleichungen an einer ausgewählten endlichen Menge von Kollokationspunkten genau erzwungen werden und Koeffizienten in einer gewählten endlichen Basis bestimmt werden.

Prinzip

Die Unbekannte als endliche Linearkombination von Basisfunktionen darstellen und verlangen, dass die Residuen an gewählten Kollokationspunkten verschwinden, wodurch ein stetiges Problem in ein endliches algebraisches Gleichungssystem für die Koeffizienten überführt wird.

Demonstration

Eine Randwert-ODE approximieren, indem die Lösung in einer Polynombasis ausgedrückt, Gauß–Lobatto-Kollokationspunkte gewählt, die Differentialgleichung und Randbedingungen an diesen Punkten erzwungen und das resultierende lineare System für die Polynomkoeffizienten gelöst wird.

Fehlanwendung

Schlecht gewählte Kollokationspunkte (übermäßige Ballung oder Ignorieren des Randverhaltens) oder eine ungeeignete Basis können zu großen Interpolationsfehlern, dem Runge-Phänomen oder einem schlecht konditionierten algebraischen System führen.

Konsequenz

Bei geeigneter Basis- und Punktwahl liefert Kollokation hochordentliche Konvergenz und strukturierte Systeme, die für viele Randwert- und Integralprobleme effizient sind.

Umkehrung

Im Gegensatz zur Galerkin-Projektion erzwingt Kollokation die Punktweise Aufhebung des Residuums an diskreten Stellen, während Galerkin die Orthogonalität des Residuums gegenüber einem Testraum fordert.

Abgrenzung

Wirksam für glatte Lösungen und Probleme, die sich für globale oder stückweise Basisdarstellungen eignen; weniger robust bei starken Unstetigkeiten, nicht glatten Koeffizienten oder wenn punktweise Durchsetzung schwache Formulierungen bricht.

Semantische Spannung

Spannung zwischen punktweiser Erzwingung (Kollokation) und gewichteter Durchschnittserzwingung (Galerkin): Kollokation ist einfacher und pro Freiheitsgrad oft günstiger, kann aber in Stabilität und in der Einhaltung schwacher Formulierungen nachstehen.

Synthese

Die Kollokationsmethode reduziert kontinuierliche Operatorgleichungen zu endlichen algebraischen Systemen, indem Basisfunktionen gewählt und die Governing-Gleichungen an ausgewählten Punkten erzwungen werden, wodurch punktweise Genauigkeit gegen ein diskretes lösbares System getauscht wird.