Une caractérisation variationnelle des valeurs propres ordonnées d'un opérateur auto-adjoint (hermitien) ou d'une matrice symétrique : la k-ième plus petite valeur propre est égale à un min–max du quotient de Rayleigh sur les sous-espaces de dimension k.

Principe

Ordonner les valeurs propres en extrémisant le quotient de Rayleigh sur des sous-espaces : λ_k = min_{dim S=k} max_{x∈S, ||x||=1} ⟨Ax,x⟩, donnant une règle pour localiser les valeurs propres par une procédure imbriquée de min et max.

Démonstration

Pour une matrice réelle symétrique 3×3, calculer le quotient de Rayleigh R(x)=xᵀAx/xᵀx ; la première valeur propre est le minimum de R sur les sous-espaces de dimension 1, la seconde est le minimum sur les sous-espaces de dimension 2 du maximum de R sur les vecteurs unitaires de ces sous-espaces.

Mauvaise application

Appliquer la formule à des matrices non auto-adjointes ou à des opérateurs sans spectre réel donne des résultats erronés ; traiter des valeurs propres généralisées sans modifier l'espace variationnel constitue une mauvaise application.

Conséquence

Fournit des bornes calculables et des approximations variationnelles des valeurs propres, soutient la méthode de Rayleigh–Ritz et garantit des résultats d'entrelacement pour les sous-matrices principales et les restrictions de domaine.

Inversion

Inverser min et max (un max–min naïf) ou extrémiser sur les complémentaires orthogonaux produit des quantités différentes ; le problème variationnel inversé caractérise les valeurs propres les plus grandes ou des ordonnements différents.

Limite

Nécessite un opérateur auto-adjoint ou une matrice symétrique et un produit scalaire d'espace de Hilbert ; pour les opérateurs en dimension infinie, des hypothèses de compacité ou de spectre discret sont nécessaires pour que la k-ième valeur propre soit bien définie.

Tension sémantique

Entre en tension avec la description directe fournie par le théorème spectral : la décomposition spectrale donne valeurs propres et vecteurs propres explicitement, tandis que la vue variationnelle de Courant met l'accent sur la caractérisation extrémale utile pour l'approximation.

Synthèse

Le Principe de Minimax de Courant unit le quotient de Rayleigh, l'optimisation sur sous-espaces et l'ordonnancement spectral en une règle opérationnelle : localiser la k-ième valeur propre en minimisant le pire quotient de Rayleigh sur les sous-espaces de dimension k, valable lorsque l'opérateur est auto-adjoint et la valeur propre bien définie.