Una caracterización variacional de los valores propios ordenados de un operador auto-adjunto (hermitiano) o de una matriz simétrica: el k-ésimo valor propio más pequeño es un min–max del cociente de Rayleigh sobre subespacios de dimensión k.

Principio

Ordenar los valores propios extremando el cociente de Rayleigh en subespacios: λ_k = min_{dim S=k} max_{x∈S, ||x||=1} ⟨Ax,x⟩, aportando una regla para localizar valores propios mediante procedimientos anidados de mínimo y máximo.

Demostración

Para una matriz real simétrica 3×3, calcular el cociente de Rayleigh R(x)=xᵀAx/xᵀx; el primer valor propio es el mínimo de R sobre subespacios de dimensión 1, el segundo es el mínimo sobre subespacios de dimensión 2 del máximo de R en vectores unitarios de esos subespacios.

Aplicación incorrecta

Aplicar la fórmula a matrices no auto-adjuntas o a operadores sin espectro real produce resultados incorrectos; tratar valores propios generalizados sin ajustar el espacio variacional constituye un uso indebido.

Consecuencia

Proporciona acotaciones y aproximaciones variacionales computables para valores propios, sostiene el método de Rayleigh–Ritz y garantiza resultados de intercalamiento para submatrices principales y restricciones de dominio.

Inversión

Invertir min y max (un max–min ingenuo) o extremar sobre complementos ortogonales da cantidades distintas; el problema variacional invertido caracteriza los valores propios mayores u otros ordenamientos.

Límite

Requiere un operador auto-adjunto o una matriz simétrica y un producto interior de espacio de Hilbert; en dimensión infinita se necesitan hipótesis adicionales de compacidad o espectro discreto para que el k-ésimo valor propio esté definido.

Tensión semántica

Tiene tensión con la descripción directa del teorema espectral: la descomposición espectral da valores y vectores propios explícitamente, mientras que la visión variacional de Courant enfatiza la caracterización extremal y la aproximación.

Síntesis

El Principio Minimax de Courant une el cociente de Rayleigh, la optimización sobre subespacios y el orden espectral en una regla operativa: localizar el k-ésimo valor propio minimizando el peor cociente de Rayleigh sobre subespacios de dimensión k, válido cuando el operador es auto-adjunto y el valor propio está bien definido.