Eine variationale Charakterisierung der geordneten Eigenwerte eines selbstadjungierten (hermiteschen) Operators oder einer symmetrischen Matrix: der k-te kleinste Eigenwert ist ein Minimax des Rayleigh-Quotienten über k-dimensionale Teilräume.

Prinzip

Eigenwerte werden durch Extremierung des Rayleigh-Quotienten auf Unterräumen geordnet: λ_k = min_{dim S=k} max_{x∈S, ||x||=1} ⟨Ax,x⟩, was eine Regel zur Lagebestimmung von Eigenwerten mittels verschachtelter Max–Min-Prozeduren liefert.

Demonstration

Bei einer reellen symmetrischen 3×3-Matrix berechnet man den Rayleigh-Quotienten R(x)=xᵀAx/xᵀx; der erste Eigenwert ist das Minimum von R auf allen eindimensionalen Unterräumen, der zweite entspricht dem Minimum über zweidimensionale Unterräume des Maximums von R auf Einheitsvektoren in diesen Unterräumen.

Fehlanwendung

Die Anwendung der Formel auf nicht-selbstadjungierte Matrizen oder auf Operatoren ohne reelles Spektrum führt zu falschen Ergebnissen; die Behandlung verallgemeinerter Eigenwerte ohne Anpassung des variationalen Raums ist eine Fehlanwendung.

Konsequenz

Ermöglicht berechenbare Schranken und variationelle Approximationen für Eigenwerte, begründet die Rayleigh–Ritz-Methode und gewährleistet Verzwirbelungsergebnisse (Interlacing) für Hauptuntermatrizen und Domänenbeschränkungen.

Umkehrung

Das Vertauschen von Min und Max (ein naives Max–Min) oder die Extremierung über orthogonale Komplementräume liefert andere Größen; das umgekehrte variationelle Problem charakterisiert große Eigenwerte oder andere Ordnungen.

Abgrenzung

Setzt einen selbstadjungierten Operator oder eine symmetrische Matrix und ein Hilbert-Raum-Skalarprodukt voraus; in unendlichdimensionalen Räumen sind zusätzliche Kompaktheits- oder diskrete Spektrumsannahmen erforderlich, damit der k-te Eigenwert definiert ist.

Semantische Spannung

Steht in Spannungsverhältnis zur direkten Spektraltheorie: Die Spektralzerlegung liefert Eigenwerte und Eigenvektoren explizit, während Courants variationelle Sicht konstruktivere Näherungsverfahren betont.

Synthese

Das Courant-Minimax-Prinzip verbindet Rayleigh-Quotient, Unterraumoptimierung und spektrale Ordnung zu einer operativen Regel: Bestimme den k-ten Eigenwert, indem man das worst-case Rayleigh-Quotient über k-dimensionale Testunterräume minimiert, sofern der Operator selbstadjungiert und der Eigenwert wohl definiert ist.