Une contrainte nécessaire sur la relation entre le pas de temps et la discrétisation spatiale (souvent exprimée par un nombre sans dimension CFL) qui doit être satisfaite pour la stabilité de nombreux schémas explicites en temps appliqués aux équations aux dérivées partielles hyperboliques ; elle exprime que le domaine de dépendance numérique doit contenir le domaine de dépendance de l'EDP.

Principe

La règle organisatrice est que l'information ne doit pas se propager numériquement plus vite que les vitesses caractéristiques physiques : Δt doit être suffisamment petit par rapport à Δx et à la plus grande vitesse d'onde pour que le stencil discret respecte le domaine de dépendance continu.

Démonstration

Pour l'équation d'advection linéaire en une dimension u_t + a u_x et un schéma en amont explicite aux différences finies, la stabilité exige Δt ≤ Δx/|a| (nombre CFL ≤ 1), de sorte qu'une caractéristique de vitesse a traverse au plus une cellule spatiale par pas de temps.

Mauvaise application

Considérer l'inégalité CFL comme universellement suffisante et appliquer la même borne scalaire aux schémas implicites, aux problèmes paraboliques ou aux discrétisations multi-pas sans recalculer le nombre CFL dépendant du schéma peut donner une fausse confiance et provoquer l'instabilité.

Conséquence

Lorsque la contrainte CFL appropriée est respectée pour un schéma explicite donné, la stabilité numérique (au sens de la croissance bornée des modes discrets) est généralement obtenue et les schémas consistants convergent ; la violer produit typiquement des modes oscillatoires croissants et l'explosion numérique.

Inversion

Si l'on inverse la condition en autorisant Δt supérieur au seuil CFL admissible, la méthode numérique peut amplifier artificiellement les composantes haute fréquence et ne plus approcher la solution de l'EDP ; inversement, diminuer Δt au‑dessous de la borne accroît la marge de stabilité au prix du coût de calcul.

Limite

S'applique principalement aux schémas explicites en différences finies, volumes finis et éléments finis pour les problèmes hyperboliques ; la constante précise et la forme dépendent du schéma, de la discrétisation spatiale, de la dimension et des hypothèses de linéarité ; ce n'est pas un test suffisant universel de stabilité.

Tension sémantique

Une tension existe entre la vision du CFL comme un unique nombre scalaire et celle d'une exigence dépendante du schéma et du problème liée aux domaines de dépendance discrets ; on confond parfois le rôle nécessaire et suffisant de la condition.

Synthèse

La condition CFL est une relation nécessaire dépendant du schéma qui relie pas de temps, maille et vitesses d'onde pour que la propagation d'information numérique respecte les caractéristiques de l'EDP ; l'imposer est essentiel pour une intégration explicite stable et convergente.