Eine notwendige Bedingung für das Verhältnis von Zeitschritt zu räumlicher Diskretisierung (üblich als dimensionslose CFL‑Zahl formuliert), die erfüllt sein muss, damit viele explizite Zeitintegrationsverfahren für hyperbolische Differentialgleichungen stabil sind; sie stellt sicher, dass der numerische Abhängigkeitsbereich den PDE‑Abhängigkeitsbereich enthält.

Prinzip

Die organisierende Regel lautet, dass Information numerisch nicht schneller als die physikalischen Charakteristiken propagieren darf: Δt muss in Bezug auf Δx und die größte Wellengeschwindigkeit klein genug sein, damit das diskrete Stencil den kontinuierlichen Abhängigkeitsbereich respektiert.

Demonstration

Für die eindimensionale lineare Advektion u_t + a u_x und ein explizites Upwind-Differenzenverfahren erfordert die Stabilität Δt ≤ Δx/|a| (CFL‑Zahl ≤ 1), sodass eine mit Geschwindigkeit a laufende Charakteristik höchstens eine Zelle pro Zeitschritt passiert.

Fehlanwendung

Die CFL‑Ungleichung als stets hinreichend zu betrachten und dieselbe skalare Schranke auf implizite Verfahren, parabolische Probleme oder Mehrschrittverfahren anzuwenden, ohne die schemabezogene CFL‑Zahl neu zu berechnen, kann trügerische Sicherheit vermitteln und Instabilität verursachen.

Konsequenz

Wird die geeignete CFL‑Bedingung für ein gegebenes explizites Verfahren eingehalten, erreicht man in der Regel numerische Stabilität (im Sinn beschränkter Wachstumsgesetze diskreter Modi) und konsistente Verfahren konvergieren; eine Verletzung führt typischerweise zu wachsendem Oszillationsverhalten und Divergenz.

Umkehrung

Wenn man die Bedingung umkehrt und Δt größer als die zulässige CFL‑Schranke wählt, kann das Verfahren hochfrequente Anteile künstlich verstärken und die Approximation der PDE‑Lösung versagen; umgekehrt erhöht das Verkleinern von Δt die Stabilitätsreserve zum Preis höherer Rechenkosten.

Abgrenzung

Gilt vor allem für explizite Finite‑Difference-, Finite‑Volume‑ und Finite‑Element‑Zeitintegrationsverfahren bei hyperbolischen Problemen; die genaue Konstante und Form hängen vom Verfahren, der räumlichen Diskretisierung, der Dimensionalität und Linearitätsannahmen ab; sie ist kein allgemeiner hinreichender Stabilitätstest.

Semantische Spannung

Es besteht eine Spannung zwischen der Auffassung der CFL‑Bedingung als einzelner skalare ‚CFL‑Zahl‘ und ihrer Sicht als schemen‑ und problemabhängige Anforderung, die sich auf diskrete Abhängigkeitsbereiche bezieht; notwendige und hinreichende Rollen werden oft verwechselt.

Synthese

Die CFL‑Bedingung ist eine verfahrensabhängige notwendige Relation, die Zeitschritt, Gitterabstand und Wellengeschwindigkeiten verknüpft, sodass die numerische Informationsausbreitung die Charakteristiken der PDE respektiert; ihre Einhaltung ist entscheidend für stabile, konvergente explizite Zeitintegration.