Théorème d'analyse complexe affirmant que si f est holomorphe non constante sur un ouvert connexe, alors la valeur absolue |f| ne peut pas atteindre un maximum local intérieur ; tout maximum global de |f| sur un domaine borné se situe sur le bord du domaine sauf si f est constante.

Principe

Le module d'une fonction holomorphe se comporte comme une fonction sous-harmonique (log|f| est sous-harmonique), de sorte que les maxima intérieurs sont interdits pour les fonctions holomorphes non constantes ; l'analyticité impose une rigidité des valeurs.

Démonstration

Sur une région bornée D, soit f holomorphe avec |f(z0)| = max_D |f|. La sous-harmonicité de log|f| implique que log|f| est constante, donc f est constante. Exemple concret : un polynôme non constant n'atteint pas son module maximal dans l'intérieur d'un ouvert borné, mais seulement sur une courbe qui en encadre le bord.

Mauvaise application

Appliquer ce principe à des fonctions non holomorphes, à des fonctions méromorphes sans traiter les pôles, ou sur des domaines disjoints ; pour les fonctions harmoniques, le principe du maximum s'applique différemment (à la fonction elle-même, et non à son module).

Conséquence

Corollaires immédiats : le théorème de l'application ouverte (les applications holomorphes non constantes sont ouvertes), la prolongation analytique et de fortes contraintes sur les zéros et les ensembles de niveau ; il sous-tend de nombreux résultats d'unicité et de problèmes extrémaux en analyse complexe.

Inversion

L'énoncé minimal du module nécessite une modification : si f n'a pas de zéros, 1/f est holomorphe et on applique le principe du module maximum à 1/f pour obtenir un principe du minimum pour |f|. Une inversion brute affirmant des minima intérieurs pour une fonction holomorphe quelconque est fausse sauf dans le cas où l'on applique l'astuce réciproque après vérification de l'absence de zéros.

Limite

Suppose l'holomorphie sur un ouvert connexe et exclut singularités et points de branchement à l'intérieur du domaine ; les énoncés pour les fonctions méromorphes exigent un traitement séparé des pôles, et pour les fonctions harmoniques ou réelles analytiques la structure diffère.

Tension sémantique

Proche des principes du maximum pour fonctions harmoniques mais distinct : le principe du module maximum concerne |f| et repose sur l'analyticité (sous-harmonicité de log|f|), tandis que les principes harmoniques portent directement sur des solutions réelles de l'équation de Laplace.

Synthèse

Le Principe du Module Maximum condense l'analyticité en une affirmation de rigidité : une fonction holomorphe non constante ne peut pas voir son module atteindre un maximum à l'intérieur, ce qui implique l'ouverture des applications holomorphes, des propriétés d'unicité et un contrôle des lieux d'apparition des comportements extrémaux.