Satz der komplexen Analysis, der besagt: Ist f nicht konstant holomorph auf einer zusammenhängenden offenen Menge, so kann der Betrag |f| kein lokales (oder inneres) Maximum annehmen; ein globales Maximum von |f| auf einem beschränkten Gebiet liegt auf dem Rand, es sei denn f ist konstant.

Prinzip

Der Betrag einer holomorphen Funktion verhält sich wie eine subharmonische Funktion (log|f| ist subharmonisch), daher sind innere Maxima für nicht konstante holomorphe Funktionen verboten; Holomorphie erzwingt Werte-Rigidität.

Demonstration

Auf einer beschränkten Region D: Ist f holomorph mit |f(z0)| = max_D |f|, so impliziert die Subharmonizität von log|f|, dass log|f| konstant ist und folglich f konstant. Konkretes Beispiel: Ein nichtkonstanter Polynom erreicht seinen maximalen Betrag nicht im Inneren einer offenen beschränkten Menge, sondern nur auf deren Randkurve.

Fehlanwendung

Anwendung auf nicht-holomorphe Funktionen, auf meromorphe Funktionen ohne Behandlung von Polen oder auf zerlegte Gebiete; für harmonische Funktionen gilt das Maximumprinzip anders (für die Funktion selbst, nicht für ihren Betrag).

Konsequenz

Folgerungen sind u. a. der Satz vom offenen Bild (nichtkonstante holomorphe Abbildungen sind offen), Fortsetzbarkeit und starke Beschränkungen für Nullstellen und Niveaumengen; er liegt vielen Eindeutigkeits- und Extremalfragen in der komplexen Analysis zugrunde.

Umkehrung

Die Umkehrung zum Minimum benötigt Anpassung: Hat f keine Nullstellen, so ist 1/f holomorph und Anwendung des Maximumprinzips auf 1/f ergibt ein Minimumprinzip für |f|. Eine rohe Umkehrung, die innere Minima für beliebige holomorphe f behauptet, ist falsch, sofern nicht die reziproke Konstruktion anwendbar ist.

Abgrenzung

Voraussetzung ist Holomorphie auf einer zusammenhängenden offenen Menge; Singularitäten und Verzweigungspunkte im Inneren sind ausgeschlossen. Aussagen für meromorphe Funktionen erfordern gesonderte Behandlung der Pole; bei harmonischen oder reell-analytischen Funktionen unterscheidet sich die Struktur.

Semantische Spannung

Verwandt mit Maximumprinzipien für harmonische Funktionen, aber unterschiedlich: Das Maximumprinzip für den Betrag bezieht sich auf |f| und nutzt Analytizität (Subharmonizität von log|f|), während harmonische Prinzipien direkt reale Lösungen der Laplace-Gleichung betreffen.

Synthese

Das Maximumprinzip des Betrags fasst Analytizität zu einer Rigiditätsaussage zusammen: Eine nichtkonstante holomorphe Funktion kann ihren Betrag nicht im Inneren maximieren, was Offenheit, Eindeutigkeitseigenschaften und Kontrolle über Extremstellen nach sich zieht.