Teorema del análisis complejo que afirma: si f es holomorfa y no constante en un abierto conexo, entonces |f| no puede alcanzar un máximo local (o interior); cualquier máximo global de |f| en un dominio acotado ocurre en la frontera del dominio salvo que f sea constante.

Principio

El módulo de una función holomorfa se comporta como una función subarmónica (log|f| es subarmónica), por lo que los máximos interiores están prohibidos para funciones holomorfas no constantes; la analiticidad impone rigidez en los valores.

Demostración

En una región acotada D, si f es holomorfa y |f(z0)| = max_D |f|, la subarmonicidad de log|f| implica que log|f| es constante y por tanto f es constante. Ejemplo: un polinomio no constante no alcanza su máximo de módulo en el interior de un abierto acotado, sino en la curva que delimita su frontera.

Aplicación incorrecta

Aplicarlo a funciones no holomorfas, a funciones meromorfas sin tratar los polos, o a dominios desconectados; para funciones armónicas el principio del máximo actúa de forma diferente (sobre la propia función, no sobre su módulo).

Consecuencia

Corolarios inmediatos: teorema de aplicación abierta (las aplicaciones holomorfas no constantes son abiertas), continuación única y fuertes restricciones sobre ceros y conjuntos de nivel; subyace a muchos resultados de unicidad y problemas extremales en análisis complejo.

Inversión

La afirmación del mínimo de módulo requiere modificación: si f no tiene ceros, 1/f es holomorfa y aplicar el principio del módulo máximo a 1/f da un principio del mínimo para |f|. Una inversión directa que afirme mínimos interiores para una holomorfa arbitraria es falsa salvo que se use la construcción recíproca tras verificar ausencia de ceros.

Límite

Supone holomorfía en un abierto conexo y excluye singularidades y puntos de ramificación en el interior; las afirmaciones para funciones meromorfas requieren tratar los polos por separado, y para funciones armónicas o reales analíticas la estructura difiere.

Tensión semántica

Cercano a los principios del máximo para funciones armónicas pero distinto en alcance: el principio del módulo máximo trata |f| y usa la analiticidad (subarmonicidad de log|f|), mientras que los principios armónicos se aplican directamente a soluciones reales de la ecuación de Laplace.

Síntesis

El Principio del Módulo Máximo condensa la analiticidad en una afirmación de rigidez: una función holomorfa no constante no puede tener su módulo máximo en el interior, lo que implica apertura, propiedades de unicidad y control sobre dónde pueden darse comportamientos extremales.