Ensemble de résultats pour certaines équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques scalaires affirmant qu'une solution ne peut atteindre un maximum (ou minimum) non trivial à l'intérieur du domaine sauf si elle est constante ; les extrema sont contraints au bord sous des conditions de signe de l'opérateur.

Principe

Le principe du maximum découle de la structure de signe et de l'ellipticité/parabolicité de l'opérateur : un extremum intérieur obligerait l'annulation de dérivées secondes ou violerait l'inégalité imposée par l'opérateur, de sorte que les extrema sont repoussés vers le bord.

Démonstration

Pour les fonctions harmoniques (Δu=0) sur un domaine borné, le maximum et le minimum de u se situent sur le bord sauf si u est constante (principe du maximum classique). Pour l'équation de la chaleur, le principe fort du maximum interdit des maxima intérieurs en temps positif sauf lorsque la solution est spatialement constante.

Mauvaise application

Appliquer le principe du maximum à des opérateurs non elliptiques, à des systèmes sans ordre scalaire, ou ignorer les conditions de signe sur les coefficients et termes d'ordre inférieur ; ou présumer qu'il tient pour des non-linéarités sans vérification.

Conséquence

Les principes du maximum fournissent des bornes a priori, l'unicité des solutions de problèmes aux limites, des principes de comparaison et un contrôle de l'oscillation et des propriétés de positivité des solutions.

Inversion

La situation inverse survient lorsque les opérateurs changent de signe ou pour des équations hyperboliques où les caractéristiques permettent des extrema intérieurs et la propagation, ou lorsque des coefficients permettent la création d'extrema à l'intérieur.

Limite

S'applique principalement aux EDP scalaires d'ordre deux elliptiques et paraboliques avec régularité et conditions de signe appropriées sur les coefficients et les données de bord ; exclut de nombreux systèmes, opérateurs non linéaires généraux et équations sans ordre préservant le maximum.

Tension sémantique

Le principe du maximum peut être confondu avec les principes variationnels de minimisation (énergie) ou avec les formulations faibles versus fortes ; la tension porte entre résultats de comparaison ponctuelle et méthodes intégrales/énergétiques.

Synthèse

Le principe du maximum est l'énoncé structurel selon lequel les conditions de signe et de régularité en ellipticité/parabolicité empêchent les extrema intérieurs pour des solutions scalaires, produisant des résultats de comparaison, d'unicité et de bornes centraux en théorie des EDP.