Una clase de resultados para ciertas ecuaciones en derivadas parciales elípticas y parabólicas escalares que afirma que una solución no puede alcanzar un máximo (o mínimo) no trivial en el interior de un dominio salvo que sea constante; los extremos quedan restringidos a la frontera bajo condiciones de signo del operador.

Principio

El principio del máximo se deriva de la estructura de signos y la elipticidad/parabolicidad del operador: los extremos interiores obligarían la anulación de segundas derivadas o violarían la desigualdad impuesta por el operador, por lo que los extremos se desplazan hacia la frontera.

Demostración

Para funciones armónicas (Δu=0) en un dominio acotado, el máximo y mínimo de u se alcanzan en la frontera salvo que u sea constante (principio del máximo clásico). Para la ecuación del calor, el principio fuerte del máximo impide máximos interiores en tiempos positivos salvo que la solución sea espacialmente constante.

Aplicación incorrecta

Aplicar el principio del máximo a operadores no elípticos, a sistemas sin un orden escalar, o ignorar las condiciones de signo en coeficientes y términos de orden inferior; igualmente suponer que vale para no linealidades sin verificación.

Consecuencia

Los principios del máximo proporcionan cotas a priori, unicidad de soluciones en problemas de contorno, principios de comparación y control sobre la oscilación y propiedades de positividad de la solución.

Inversión

La inversión aparece cuando los operadores cambian de signo o para ecuaciones hiperbólicas donde las características permiten extremos interiores y propagación, o cuando los coeficientes permiten la creación de extremos en el interior.

Límite

Se aplica principalmente a PDE escalares elípticas y parabólicas de segundo orden con regularidad apropiada y condiciones de signo en coeficientes y datos de contorno; excluye muchos sistemas, operadores no lineales generales y ecuaciones sin un orden que preserve máximos.

Tensión semántica

El principio del máximo puede confundirse con principios variacionales de minimización (energía) o con formulaciones débiles frente a fuertes; la tensión es entre resultados de comparación puntuales y métodos integrales/basados en energía.

Síntesis

El principio del máximo es la afirmación estructural de que las condiciones de signo y regularidad en ellipticidad/parabolicidad impiden extremos interiores para soluciones escalares, generando resultados de comparación, unicidad y cotas que son centrales en la teoría de PDE.