Eine Klasse von Aussagen für bestimmte skalare elliptische und parabolische partielle Differentialgleichungen, die besagt, dass eine Lösung kein nichttriviales Extremum im Inneren eines Gebiets annehmen kann, es sei denn sie ist konstant; Extrema liegen unter Vorzeichenbedingungen des Operators am Rand.

Prinzip

Das Maximumsprinzip folgt aus der Vorzeichenstruktur und Elliptizität/Parabolicität des Operators: Innere Extrema würden das Verschwinden zweiter Ableitungen erzwingen oder die Operatorungleichung verletzen, weshalb Extrema an den Rand gedrängt werden.

Demonstration

Für harmonische Funktionen (Δu=0) auf einem beschränkten Gebiet liegen Maximum und Minimum von u am Rand, außer u ist konstant (klassisches Maximumsprinzip). Für die Wärmegleichung verhindert das starke Maximumsprinzip Innenmaxima zu positiven Zeiten, sofern die Lösung nicht räumlich konstant ist.

Fehlanwendung

Das Maximumsprinzip auf nichtelliptische Operatoren, auf Systeme ohne skalare Ordnung oder ohne Beachtung der Vorzeichenbedingungen der Koeffizienten und niederer Ordnungen anzuwenden; ebenso anzunehmen, dass es für allgemeine nichtlineare Terme gilt.

Konsequenz

Maximumsprinzipien liefern a-priori-Schranken, Eindeutigkeit von Lösungen zu Randwertproblemen, Vergleichsprinzipien und Kontrolle über Oszillation und Positivitätseigenschaften von Lösungen.

Umkehrung

Das Gegenteil tritt auf, wenn Operatoren das Vorzeichen wechseln oder bei hyperbolischen Gleichungen, wo Charakteristiken innere Extrema und Ausbreitung zulassen, oder wenn Koeffizienten die innere Erzeugung von Extrema erlauben.

Abgrenzung

Gilt vornehmlich für skalare elliptische und parabolische PDG zweiter Ordnung mit angemessener Regularität und Vorzeichenbedingungen an Koeffizienten und Randdaten; schließt viele Systeme, allgemeine nichtlineare Operatoren und Gleichungen ohne maximumserhaltende Ordnung aus.

Semantische Spannung

Das Maximumsprinzip wird oft mit variationalen Minimalprinzipien (Energieprinzipien) oder mit schwachen versus starken Formulierungen verwechselt; die Spannung liegt zwischen punktweisen Vergleichsergebnissen und integral-/energiebasierten Methoden.

Synthese

Das Maximumsprinzip ist die strukturelle Aussage, dass Elliptizitäts-/Parabolicitätsvorzeichen und Regularität innere Extrema für skalare Lösungen verhindern und dadurch Vergleichs-, Eindeutigkeits- und Schrankenresultate liefern, die zentral in der PDE-Theorie sind.