Fonction à valeur réelle sur un espace vectoriel qui attribue une taille non négative à chaque élément et satisfait la positivité définie (zéro seulement pour le vecteur nul), l'homogénéité absolue (mise à l'échelle par un scalaire) et l'inégalité triangulaire (sous-additivité).

Principe

Une norme mesure la magnitude de manière compatible avec les opérations vectorielles et induit une métrique d(x,y)=||x-y|| ; les normes peuvent être induites par un produit intérieur ou définies plus généralement (p-normes, norme uniforme, normes d'opérateur), et déterminent la topologie et les notions de convergence.

Démonstration

Exemples courants : la norme euclidienne ||x||_2 = (Σ x_i^2)^{1/2} sur R^n, la p-norme ||f||_p = (∫|f|^p)^{1/p} sur les espaces de fonctions, la norme suprême ||f||_∞ = sup |f|, et les normes d'opérateur définies par des suprema sur les vecteurs unitaires.

Mauvaise application

Utiliser une semi-norme (qui peut s'annuler sur des vecteurs non nuls) ou une fonction non sous-additive comme si c'était une norme, ou supposer l'équivalence des normes dans des espaces de dimension infinie sans justification, sont des usages incorrects ; supposer en outre qu'un produit intérieur induit existe pour toute norme est faux.

Conséquence

Une norme induit une métrique, une topologie et des notions de continuité, bornitude et complétude ; dans les espaces de dimension finie toutes les normes sont équivalentes (même topologie), tandis que dans les cadres de dimension infinie le choix de la norme affecte la compacité, la convergence et les propriétés fonctionnelles analytiques.

Inversion

Une inversion serait un pseudo-métrique ou une semi-norme qui assouplit l'un des axiomes définissant la norme (par exemple en autorisant un noyau non trivial ou en violant l'inégalité triangulaire), ce qui modifie radicalement la topologie et les conséquences algébriques induites.

Limite

Les normes se définissent sur des espaces vectoriels sur R ou C et sur des modules en analyse fonctionnelle ; elles ne sont pas des fonctions générales sur des ensembles et exigent une structure linéaire. Beaucoup de normes d'espaces de fonctions ne sont que des semi-normes tant que l'on ne passe pas aux classes d'équivalence (modulo ensembles nuls).

Tension sémantique

Il y a une tension entre « norme » et « métrique » car toute norme induit une métrique mais toute métrique ne provient pas d'une norme ; il existe aussi une tension entre « norme » et « semi-norme » dans les contextes où la dégénérescence importe.

Synthèse

Une norme est une fonction de taille compatible avec la mise à l'échelle et la sous-additivité sur un espace vectoriel qui induit une structure métrique et topologique ; elle fonde les notions de longueur, distance et convergence, avec équivalence en dimension finie et sensibilité au choix en dimension infinie.